2018年至2019年高二3月月考数学（甘肃省兰州第一中学）

极坐标方程（p-1）（

）=0（p

0）表示的图形是
A. 两个圆 B. 两条直线
C. 一个圆和一条射线 D. 一条直线和一条射线

【答案】C
【解析】

设i是虚数单位，则复数

在复平面内所对应的点位于（）
（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限

【答案】B
【解析】由题意，其对应的点坐标为，位于第二象限，故选B.

下面几种推理过程是演绎推理的是（）
A. 某校高二年级有10个班，1班62人，2班61人，3班62人，由此推测各班人数都超过60人
B. 根据三角形的性质，可以推测空间四面体的性质
C. 平行四边形对角线互相平分，矩形是平行四边形，所以矩形的对角线互相平分
D. 在数列

中，

，计算

由此归纳出

的通项公式

【答案】C
【解析】
根据演绎推理的特点可得正确的选项.
对于A，推理的方法是归纳推理（不完全归纳），对于B，推理的方法是类比推理，对于D，推理的方法是归纳推理（不完全归纳），对于C，推理的方法是演绎推理.

用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设（）
A．三个内角都不大于60° B．三个内角都大于60°
C．三个内角至多有一个大于60° D．三个内角至多有两个大于60°

【答案】B
【解析】解：因为用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，假设就是对结论否定，因此为三个内角都大于60°，选B

如图是“集合”的知识结构图，如果要加入“子集”，则应该放在（）

A. “集合的概念”的下位 B. “集合的表示”的下位
C. “基本关系”的下位 D. “基本运算”的下位

【答案】C
【解析】因为集合的基本关系包含了“子集”这一关系，故选C.

满足条件|z－i|=|3+4i| 的复数z在复平面上对应点的轨迹是（）
A. 一条直线 B. 两条直线 C. 圆 D. 椭圆

【答案】C
【解析】题中所给条件即：，
由复数的模的几何意义可得：
复数z在复平面上对应点表示与点所对应的点距离为的点的轨迹方程；
据此可得对应点的轨迹是圆.
本题选择C选项.

下表为某班5位同学身高

（单位：

）与体重

（单位

）的数据，若两个变量间的回归直线方程为

，则

的值为（）

身高	170	171	166	178	160
体重	75	80	70	85	65

A. 121.04 B. 123.2 C. 21 D. 45.12

【答案】A
【解析】
算出后代入方程可得.
，故，故选A.

直线

与曲线

有公共点，则

的取值范围是（）
A.

且

【答案】A
【解析】
把圆的极坐标方程化成直角坐标方程，利用圆心到直线的距离小于或等于半径可得的取值范围.
曲线即为，它化成直角坐标方程是，
该方程对应的曲线为圆：，故，解得，故选A.

已知三角形的三边分别为

，内切圆的半径为

，则三角形的面积为

；四面体的四个面的面积分别为

，内切球的半径为

。类比三角形的面积可得四面体的体积为（）
A.

【答案】B
【解析】
根据几何体和平面图形的类比关系，三角形的边应与四面体中的各个面、面积与体积进行类比，利用类比推理，即可得到结论．
根据几何体和平面图形的类比关系，三角形的边应与四面体中的各个面进行类比，
而面积与体积进行类比，则的面积为，
对应于四面体的体积为，故选B．

若正实数

满足

，则（）
A.

有最大值

有最小值

有最大值

【答案】D
【解析】
取特殊的的值得到A,B,C都不成立，可以证明D是正确的.
对于A，取，则，故A错误；
对于B，取，则，故B错误；
对于C，取，则，故C错误；
对于D，因为，又，故，即，当且仅当时等号成立，故D正确.

（题文）如果执行下面的程序框图，那么输出的

A. 2450 B. 2500 C. 2550 D. 2652

【答案】C
【解析】试题分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出：S=2×1+2×2+…+2×50的值．
试题解析：分析程序中各变量、各语句的作用，
再根据流程图所示的顺序，可知：
该程序的作用是累加并输出：S=2×1+2×2+…+2×50的值．
∵S=2×1+2×2+…+2×50=2××50=2550
故选C

在极坐标系中，曲线

上有3个不同的点到曲线

的距离等于2，则

的值为（）
A. 2 B. －2 C. ±2 D. 0

【答案】C
【解析】
把直线和圆的极坐标方程均化成直角坐标方程，利用点到直线的距离等于半径的一半可得的取值.
曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程后为，它是圆的方程，
曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程后为，它是直线的方程，
因为圆上有3个不同的点到直线的距离为，故圆心到直线的距离为，
所以，故，选C.

是虚数单位，

_____.（用

的形式表示，

）

【答案】
【解析】
利用虚数单位的性质可得计算结果.
原式，填.

在极坐标系中，若过点

且与极轴平行的直线交曲线

于

两点，则

=________．

【答案】
【解析】
把点的极坐标化成直角坐标，把曲线的极坐标方程化成直角坐标方程后联立方程组可得的长．
点对应的直角坐标为，曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为：
，平行于极轴的直线对应的直角坐标方程为，
在圆的直角坐标方程中令，则，故，填．

已知函数

在

上是增函数,则

的取值范围是________.

【答案】
【解析】
先求出，故在上恒成立，参变分离后可得参数的取值范围.
，
因为是上的增函数，故在上恒成立，
即在上恒成立，故在上恒成立，
由基本不等式可知，当且仅当时等号成立，
所以，故填.

如图所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边（包括两个端点）有

个点，每个图形总的点数记为

,则

_______；

_______.

【答案】
【解析】
利用归纳法可得，从而可得的值，再利用裂项相消法可求给定的和．
由图可以得到，，
依次类推，则有，所以，
又

，
故分别填：.

已知复数

，若

.
（1）求

；
（2）求实数

的值.

【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）利用复数的四则运算法则可得，从而得到.
（2）化简原来的复数方程可得，利用复数相等的条件可得.
，故，
所以，整理得到，
因为，所以，解得，
故实数的值分别为.

某产品的广告支出

(单位：万元)与销售收入

(单位：万元)之间有下表所对应的数据：

（1）画出表中数据的散点图；
（2）求出

对

的线性回归方程；
（3）若广告费为9万元，则销售收入约为多少万元？
参考公式：

【答案】（1）散点图见解析；（2）；（3）.
【解析】
（1）根据表中数据绘制散点图即可.
（2）利用公式计算线性回归方程.
（3）利用（2）得到的线性回归方程计算相应的销售收入.
（1）散点图如图：

（2）观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近，
于是，
代入公式得：
，

故与的线性回归方程为，其中回归系数为，它的意义是：广告支出每增加1万元，销售收入平均增加万元．
（3）当万元时，（万元）．
所以当广告费为9万元时，可预测销售收入约为129.4万元．

有甲乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如图的列联表. 已知在全部105人中随机抽取一人为优秀的概率为

（1）请完成上面的列联表；
（2）根据列联表的数据,若按

的可靠性要求,能否认为“成绩与班级有关系”；
（3）若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取一人:把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号,先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数之和为被抽取人的序号.试求抽到8或9号的概率.
参考公式和数据:

【答案】（1）列联表见解析；（2）能；（3）.
【解析】
（1）根据题设中给出的数据可完成列联表.
（2）根据公式计算的值，结合表中给出的数据可判断成绩与班级有关系（有的把握）.
（3）分别计算基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数，利用公式可得所求概率.
（1）

	优秀	非优秀	总计
甲班
乙班
合计

（2）根据列联表的数据，得到，
因此有的把握认为成绩与班级有关系.
（3）设“抽到或号”为事件，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为
，所有基本事件有共36个．
事件包含的基本事件有，共9个，故.

将椭圆

上每一点的横坐标变为原来的

，纵坐标变为原来的2倍，得到曲线

.
（1）写出曲线

的方程；
（2）设直线

与

的交点为

，以坐标原点为极点，

轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段

的中点且与

垂直的直线的极坐标方程．

【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）利用变换前后对应点的坐标关系可得曲线的方程．
（2）先计算的坐标，求出它们的中点后可得所求直线的直角坐标方程，最后再把它转化为极坐标方程即可．
（1）由伸缩变换得代入椭圆方程，得到，
即曲线的方程为.
（2）由，解得或，
不妨设，则线段的中点坐标为，
所求直线斜率为，于是所求直线方程为即，
化为极坐标方程，并整理得即.