人教版初二数学下册 17.1勾股定理 同步测试

【答案】C
【解析】①32+42=52，符合勾股数的定义；②42+52≠62，不符合勾股数的定义；③2.5、6.5不是正整数，不符合勾股数的定义；④82+152=172，符合勾股数的定义，故选C．

【答案】D
【解析】
试题已知的这两条边可以为直角边，也可以是一条直角边一条斜边，从而分两种情况进行讨论解答．
分两种情况：（1）3、4都为直角边，由勾股定理得第三边长的平方是25；
（2）3为直角边，4为斜边，由勾股定理得第三边长的平方是7，
故选D．

【答案】B
【解析】
∵∠A+∠C=∠B，∠A+∠B+∠C=180°，∴2∠B=90°，∴△ABC是直角三角形，故A选项能判定；
∵b2+c2≠a2，∴△ABC不是直角三角形，故B选项不能判定；
∵(b+a)(b－a)=c2，∴b2－a2=c2，即a2+c2=b2，∴C选项能判定；
设∠A=5x°，∠B=3x°，∠C=2x°，∴5x+3x+2x=180，解得x=18，5x=90，∴D选项能判定.
故选B.

【答案】A
【解析】试题解析：图（1）中，AB=5米，BC=3米，
由勾股定理得AC=4米，
∵梯子下滑了1米，
∴AE=1米，
∴EC=3米，

图（2）中，EC=3米，ED=5米，
由勾股定理得CD=4米，
所以梯子向外端下滑了1米，
故选A．

【答案】D
【解析】根据勾股定理可以得到：AC=BC=,AB=,
∵
∴AC2+BC2=AB2．
∴△ABC是等腰直角三角形．
∴∠ABC=45°．
故选D.

【答案】C
【解析】
分类讨论当3为斜边时和x为斜边时,利用勾股定理列出等式即可解题.
解：当3为斜边时,
32=22+x2,解得：x=,
当x为斜边时,
x2=32+22,解得：x=,
∴x为或,
故选C.

【答案】A．
【解析】
试题解析：∵∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC=90°，AD=BD=CD=AB，∠ACD=∠BCD=∠A=∠B=45°．
∵∠MDN=90°，
∴∠ADM=∠CDN．
在△AMD和△CND中，
，
∴△AMD≌△CND（ASA），
∴AM=CN，DM=DN，S△AMD=S△CND．
∴CM=BN．
∵四边形MDNC的面积=S△CDM+S△CDN=S△CDM+S△ADM=S△ADC．故为定值．
∵CM2+CN2=MN2，
∴BN2+AM2=MN2．
当MN∥AB时，MN平分∠CND．
∴正确的有：①②③．
故选A．

【答案】10+2或20+2或20+6
【解析】
根据等腰三角形的性质，分情况讨论即可得出周长
当10为底边长时,高为6,根据勾股定理,腰长为=,此时三角形的周长为10+2；
当10为腰长时,设底边长为x,根据三角形的面积为30,可得高为,
由勾股定理可得, +x2=100,解得x=3或,
当x=3时,三角形的周长为20+6;
当x=时,三角形的周长为20+2.
故答案为：10+2或20+2或20+6

【答案】2.2
【解析】
作出图形,利用定理求出BD长,即可解题.
解：如图,

在Rt△ACB中,∵∠ACB=90°,BC=0.7米,AC=2.4米,
∴AB2=0.72+2.42=6.25,
在Rt△BD中,∠DB=90°, D=2米,BD2+D2=B2,
∴BD2+22=6.25,
∴BD2=2.25,
∵BD0,
∴BD=1.5米,
∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米.

【答案】9或1
【解析】△ABC中，∠ACB分锐角和钝角两种：
①如图1，∠ACB是锐角时，根据勾股定理计算BD和CD的长可得BC的值；
②如图2，∠ACB是钝角时，同理得：CD=4，BD=5，根据BC=BD﹣CD代入可得结论．
①如图1，∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
由勾股定理得：BD==5，
CD==4，
∴BC=BD+CD=5+4=9；
②如图2，同理得：CD=4，BD=5，
∴BC=BD﹣CD=5﹣4=1，
综上所述，BC的长为9或1；
故答案为：9或1．

【答案】25
【解析】解：由勾股定理得：AB==5，所以以AB为边长的正方形的面积为52=25．故答案为：25．

【答案】
【解析】试题解析：设CD=x，则AD=A′D=4-x．
在直角三角形ABC中，BC==5．则A′C=BC-AB=BC-A′B=5-3=2．
在直角三角形A′DC中：AD2+AC2=CD2．
即：（4-x）2+22=x2．
解得：x=．

【答案】C
【解析】
解：根据题意，找到OAn=的规律，
所以OA1到OA25的值分别为，，，，…，，
故正整数为=1， =2， =3， =4， =5．
故选：C．

【答案】(1)∠BAD＝135°；（2）四边形ABCD的面积 2+
【解析】试题分析：（1）由于∠B=90°，AB=BC=2，利用勾股定理可求AC，并可求∠BAC=45°，而CD=3，DA=1，易得AC2+DA2=CD2，可证△ACD是直角三角形，于是有∠CAD=90°，从而易求∠BAD．
（2）连接AC，则可以计算△ABC的面积，根据AB、BC可以计算AC的长，根据AC，AD，CD可以判定△ACD为直角三角形，根据AD，CD可以计算△ACD的面积，四边形ABCD的面积为△ABC和△ACD面积之和．
试题解析：
（1）∵∠B=90°，AB=BC=2，
∴AC= =2 ，∠BAC=45°，
又∵CD=3，DA=1，
∴AC2+DA2=8+1=9，CD2=9，
∴AC2+DA2=CD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠CAD=90°，
∴∠DAB=45°+90°=135°．
故∠DAB的度数为135°．
（2）连接AC，如图所示：

在直角△ABC中，AC为斜边，且AB=BC=2，则AC=,
∵AD=1，CD=3，
∴AC2+CD2=AC2，
即△ACD为直角三角形，且∠ADC=90°，
四边形ABCD的面积=S△ABC+S△ACD=AB×BC+AD×AC=2+.

【答案】见解析.
【解析】
过点C作CG∥AB交ED的延长线于点G,连接FG，易证△BDE≌△CDG，可得DE=DG,BE=CG，即可求得∠FCG=90°，根据勾股定理可得CG2+CF2=FG2，根据等量代换即可解题．
如图,过点C作CG∥AB交ED的延长线于点G,连接FG.

∵CG∥AB,
∴∠B=∠DCG,∠BED=∠DGC.
∵BD=CD,
∴△BDE≌△CDG,(AAS)
∴DE=DG,BE=CG.
∵∠EDF=90°,
∴DF垂直平分EG,
∴EF=FG.
∵∠A=90°,
∴∠B+∠DCF=180°-90°=90°,
∴∠DCF+∠DCG=∠FCG=90°.
在Rt△CFG中,CG2+CF2=FG2,
即BE2+CF2=EF2.

【答案】（1）详见解析；（2）2+2；（3）详见解析.
【解析】试题分析：（1）先根据题意判断出△ABC是等腰直角三角形，故∠B=45°，再由DE⊥AB可知△BDE是等腰直角三角形，故DE=BE，再根据角平分线的性质即可得出结论；
（2）由（1）知，△BDE是等腰直角三角形，DE=BE=CD，再根据勾股定理求出BD的长，进而可得出结论；
（3）先根据HL定理得出Rt△ACD≌Rt△AED，故AE=AC，再由CD=BE可得出结论．
试题解析：（1）∵在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
∵DE⊥AB，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴DE=BE．
∵AD是△ABC的角平分线，
∴CD=DE，
∴CD=BE；
（2）∵由（1）知，△BDE是等腰直角三角形，DE=BE=CD，
∴DE=BE=CD=2，
∴BD=，
∴AC=BC=CD+BD=2+2；
（3）∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴CD=DE．
在Rt△ACD与Rt△AED中，
∵，
∴Rt△ACD≌Rt△AED，
∴AE=AC．
∵由（1）知CD=BE，
∴AB=AE+BE=AC+CD．

【答案】 (cm)．
【解析】
根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，易求得∠BAC=120°，故∠DAC=∠C=30°，由此可证得△ADC是等腰三角形，即可求出AD的长，再根据含30度角的直角三角形的性质即可求出AB的长．
解：在△ABC中，∠BAC＝120°，∠B＝30°
∴∠C＝180°－∠BAC－∠B＝30°
又∵AD⊥AB，∴∠BAD＝90°，
∴∠DAC＝∠BAC－∠BAD＝120°－90°＝30°＝∠C，∴AD＝CD＝1 cm，
在Rt△ABD中，∠B＝30°，∴BD＝2AD＝2×1＝2(cm)
∴AB＝＝＝ (cm)．

【答案】(1)S1＝S2＋S3 (2)S1＝S2＋S3，说明见解析.
【解析】
利用直角△ABC的边长就可以表示出S1、S2、S3的大小．三角形的边满足勾股定理．
（1）根据勾股定理可得：S1=S2+S3；
（2）S1=S2+S3．证明如下：
显然，S1=，S2=，S3=
∴S2+S3==S1，
即S1=S2+S3．