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2019年九年级数学下半期单元测试相关

北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系单元检测在线测验完整版

把三角形三边的长度都扩大为原来的2倍,则锐角A的正弦函数值
A.扩大为原来的2倍 B.缩小为原来的
C.不变 D.不能确定

【答案】C.
【解析】
试题因为△ABC三边的长度都扩大为原来的2倍所得的三角形与原三角形相似,所以锐角A的大小没改变,所以锐角A的正弦函数值也不变. 故选C.

小明同学遇到了这样一道题:tan(α+20°)=1,则锐角α的度数应是( )
A.40° B.30° C.20° D.10°

【答案】D.
【解析】
试题解析:∵tan(α+20°)=1,
∴tan(α+20°)=
∵α为锐角,
∴α+20°=30°,α=10°.
故选D.

在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AB=4,则sinA的值为( )
A. B. C. D.

【答案】C
【解析】
根据在直角三角形中,锐角的正弦为对边比斜边,可得答案.
sinA=
故选C.

如图,已知Rt△ABC中,斜边BC上的高AD=3,cosB=0.6,则AC的长为(  )

A. 3 B. 3.5 C. 4.8 D. 5

【答案】D
【解析】
根据题中所给的条件,在直角三角形中解题.根据角的正弦值与三角形边的关系,可求出AC.
∵在Rt△ABC中,cosB=
∴sinB=,tanB=
∵在Rt△ABD中AD=3,
∴AB=
在Rt△ABC中,
∵tanB=
∴AC=
故选D.

如图,河流的两岸PQ,MN互相平行,河岸PQ上有一排小树,已知相邻两树CD之间的距离为50米,某人在河岸MN的A处测得∠DAN=45°,然后沿河岸走了130米到达B处,测得∠CBN=60°.则河流的宽度CE为(  )

A. 80 B. 40(3﹣) C. 40(3+) D. 40

【答案】C
【解析】解:过点C作CF∥DA交AB于点F.∵MN∥PQ,CF∥DA,∴四边形AFCD是平行四边形,∴AF=CD=50,∠CFB=∠DAN=45°,∴FE=CE,设BE=x.∵∠CBN=60°,∴EC=x.∵FB+BE=EF,∴130﹣50+x=x,解得:x=40(+1),∴CE=x=40(3+).故选C.

如图,巳知A点坐标为(5,0),直线y=x+b(b>0)与y轴交于B,连AB,∠α=75°,则b值为( )

A. 3 B. C. 4 D.

【答案】B
【解析】因为直线的解析式是y=x+b,
∴OB=OC=b,则∠BCA=45°;
又∵∠α=75°=∠BCA+∠BAC=45°+∠BAC(外角定理)
∴∠BAC=30°;
而点A的坐标是(5,0),
∴OA=5,
在Rt△BAO中,∠BAC=30°,OA=5,
∴tan∠BAO=
∴BO=,即b=.
故选B.

在△ABC中,∠C=90°,tanA=1,那么cosB等于(  )
A. B. C. 1 D.

【答案】D
【解析】试题分析:∵△ABC中,∠C=90°,tanA=1,
∴∠A=45°,∠B=90°﹣45°=45°.
∴cosB=
故选D.

如图,已知在中,,点D沿BC自B向C运动点D与点B、C不重合,作于E,于F,则的值  

A. 不变 B. 增大 C. 减小 D. 先变大再变小

【答案】C
【解析】
现根据BE⊥AD于E,CF⊥AD于F,可证明CF∥BE,
根据直线平行的性质可得:∠DCF=∠DBF,然后设CD=a,DB=b,∠DCF=∠DBE=α,
利用三角函数定义可得:CF=DC•cosα,BE=DB•cosα,
继而可得:BE+CF=(DB+DC)cosα=BC•cosα,再根据余弦函数的性质可得:
在O<α<90°,当点D从B→D运动时,α是逐渐增大的,cosα的值是逐渐减小的,
继而可得BE+CF=BC•cosα的值是逐渐减小的.
∵BE⊥AD于E,CF⊥AD于F,
∴CF∥BE,
∴∠DCF=∠DBF,
设CD=a,DB=b,∠DCF=∠DBE=α,
∴CF=DC•cosα,BE=DB•cosα,
∴BE+CF=(DB+DC)cosα=BC•cosα,
∵∠ABC=90°,
∴O<α<90°,
当点D从B→D运动时,α是逐渐增大的,
∴cosα的值是逐渐减小的,
∴BE+CF=BC•cosα的值是逐渐减小的.
故选C.

如图,已知△ABC中,∠C=90°,,D是AC上一点,∠CBD=∠A,则sin∠ABD=(  )

A.
B.
C.
D.

【答案】A
【解析】如图,过点D作DE⊥AB,垂足为E,设BC=2x.
∵∠C=90°,,∴AC=4x,

由勾股定理可知
∵∠C=90°,∠CBD=∠A,∴,∴CD=x,
由勾股定理可知
∵∠CBD=∠A,∠AED=∠C=90°,∴△AED∽△BCD,
,∴
.故选A.

如图,小敏同学想测量一棵大树的高度,她站在B处仰望树顶,测得仰角为30°,再往大树的方向前进4m,测得仰角为60°.已知小敏同学身高(AB)为1.6m,则这棵树的高度为(结果精确到0.1m, ≈1.73)( )

A. 3.5m B. 3.6m C. 4.3m D. 5.1m

【答案】D
【解析】如图,设CD=xm,在Rt△ACD中,∵∠DAC=30°,∴(m).在Rt△ECD中,∵∠DEC=60°,∴(m).∵AE=4m,∴,解得
(m).故选D.

如图,当小明沿坡度i=1:3的坡面由A到B行走了100米,那么小明行走的水平距离AC=________米.(结果可以用根号表示).

【答案】
【解析】
直接利用坡度的定义得出设BC=x,则AC=3x,进而利用勾股定理得出即可.
∵小明沿坡度i=1:3的坡面由A到B行走了100米,
∴设BC=x,则AC=3x,故x2+(3x)2=1002,
解得:x=10
那么小明行走的水平距离AC=30(m).
故答案为:30

用计算器计算:sin15°+=________(精确到0.01).

【答案】0.48
【解析】
熟练应用计算器,对计算器给出的结果,根据有效数字的概念用四舍五入法取近似数.
原式≈0.259+1.225
≈0.484≈0.48,
故答案为:0.48.

计算(﹣1)2005﹣| ﹣2|+(﹣)﹣1﹣2sin60°的值为________.

【答案】-6
【解析】
原式第一项运用有理数的乘方运算,第二项利用绝对值的代数意义化简,第三项利用负指数幂法则计算,最后一项利用特殊角的三角函数值计算,计算即可得到结果.
(﹣1)2005﹣| ﹣2|+(﹣)﹣1﹣2sin60°,
=
=
=-6.
故答案为-6.

已知在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=,则tan B的值为______.

【答案】
【解析】
根据题意作出直角△ABC,然后根据sinA=,设一条直角边BC为5x,斜边AB为13x,根据勾股定理求出另一条直角边AC的长度,然后根据三角函数的定义可求出tan∠B.
如图,

∵sinA=
∴设BC=5x,AB=13x,
则AC==12x,
故tan∠B=
故答案为:

如图,在直角坐标系中,点A,B分别在x轴,y轴上,点A的坐标为(﹣1,0),∠ABO=30°,线段PQ的端点P从点O出发,沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周,同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动,如果PQ=,那么当点P运动一周时,点Q运动的总路程为__________.

【答案】4
【解析】
试题首先根据题意正确画出从O→B→A运动一周的图形,分四种情况进行计算:①点P从O→B时,路程是线段PQ的长;②当点P从B→C时,点Q从O运动到Q,计算OQ的长就是运动的路程;③点P从C→A时,点Q由Q向左运动,路程为QQ′;④点P从A→O时,点Q运动的路程就是点P运动的路程;最后相加即可.在Rt△AOB中,∵∠ABO=30°,AO=1,∴AB=2,BO==
①当点P从O→B时,如图1、图2所示,点Q运动的路程为
②当点P从B→C时,如图3所示,这时QC⊥AB,则∠ACQ=90°
∵∠ABO=30°∴∠BAO=60°∴∠OQD=90°﹣60°=30°∴cos30°=∴AQ=2
∴OQ=2﹣1=1 则点Q运动的路程为QO=1,
③当点P从C→A时,如图3所示,点Q运动的路程为QQ′=2﹣
④当点P从A→O时,点Q运动的路程为AO=1,
∴点Q运动的总路程为:+1+2﹣+1=4

在△ABC中,AB=2,AC=3,cos∠ACB=,则∠ABC的大小为_____度.

【答案】30或150
【解析】如图,作AD⊥BC于点D,在Rt△ACD中,∵AC=3、cos∠ACB=,∴CD=ACcos∠ACB=3×=,则AD==1,①若点B在AD左侧,∵AB=2、AD=1,∴∠ABC=30°;②若点B在AD右侧,则∠AB′D=30°,∴∠AB′C=150°,故答案为30或150.

如图,有A、B两艘船在大海中航行,B船在A船的正东方向,且两船保持20海里的距离,某一时刻这两艘船同时测得在A的东北方向,B的北偏东15°方向有另一艘船C,那么此时船C与船B的距离是_______海里.(结果保留根号)

【答案】20
【解析】试题分析:过点B作BD⊥AC,则△ABD为等腰直角三角形,则BD=10海里,在Rt△CBD中,∠CBD=60°,则BC=2BD=20海里.

(1)2cos30°﹣|1﹣tan60°|+tan45°•sin45°;
(2)()﹣2+|﹣2|﹣+6cos30°+(π﹣3.14)0 .

【答案】(1)1+;(2)12.
【解析】
(1)将各特殊角的三角函数值代入即可得出答案;
(2)原式利用乘方的意义,特殊角的三角函数值,以及零指数幂法则计算即可得到结果.
(1)原式=2×+1+1×=1+
(2)原式=9+2﹣﹣2+6×+1=12.

计算:(1)sin2 1°+sin2 2°+sin2 3°+…+sin2 87°+sin2 88°+sin2 89°
(2)sin2 66°-tan54°tan36°+sin2 24°+sin230°+cos230°+

【答案】(1)44;(2)10.
【解析】
(1)根据互余两角的三角函数的关系解答即可;
(2)根据互余两角的三角函数的关系及特殊角的三角函数值作答
(1)原式=sin21°+sin22°+…+sin245°+cos244°+cos243°+…+cos22°+cos21°
=(sin21°+cos21°)+(sin22°+cos22°)+…+(sin244°+cos244°)+sin245°
=1+1+…+1+=44+=44.
(2)原式=(sin266°+sin224°)﹣1+()2+()2+
=
=10.

若α为锐角,且2cos2α+7sin α-5=0.求α的度数.

【答案】α=30°
【解析】
由sin2α+cos2α=1将原方程转化为关于sinα的一元二次方程,然后通过解该方程来求sinα的值;然后根据特殊角的三角函数值来求α的度数.
∵α为锐角,
∴0<sinα<1.
∵sin2α+cos2α=1,
∴cos2α=1-sin2α,
∴2cos2α+7sinα-5=2-2sin2α+7sinα-5=0,
即2sin2α-7sinα+3=0,
整理,得
(sinα-3)(2sinα-1)=0.
解得sinα=3(舍去)或sinα=
∴α=30°.

如图,两幢大楼AB,CD之间的水平距离(BD)为20米,为测得两幢大楼的高度,小王同学站在大楼AB的顶端A处测得大楼CD顶端C的仰角为60°,测得大楼CD的底部D的俯角为45°,试求大楼AB和CD的高度.(精确到1米)

【答案】大楼AB的高度是20米,大楼CD的高度约为55米.
【解析】
过点A作AE⊥CD于点E,根据正切的定义分别求出DE、CE,结合图形计算即可.
过点A作AE⊥CD于点E,

则四边形AEDB是矩形, ∴AB=DE,AE=DB=20米,
在Rt△ADE中,tan45°=,∴DE=AE=20,
在Rt△ACE中,tan60°=,∴CE=20
∴CD=DE+CE=20+20≈55米,
答:大楼AB的高度是20米,大楼CD的高度约为55米.

如图,在航线l的两侧分别有观测点A和B,点B到航线l的距离BD为4km,点A位于点B北偏西60°方向且与B相距20km处.现有一艘轮船从位于点A南偏东74°方向的C处,沿该航线自东向西航行至观测点A的正南方向E处.求这艘轮船的航行路程CE的长度.(结果精确到0.1km)(参考数据:≈1.73,sin74°≈0.96,cos74°≈0.28,tan74°≈3.49)

【答案】20.9km
【解析】分析:根据题意,构造直角三角和相似三角形的数学模型,利用相似三角形的判定与性质和解直角三角形即可.
详解:如图,
在Rt△BDF中,∵∠DBF=60°,BD=4km,
∴BF==8km,
∵AB=20km,
∴AF=12km,
∵∠AEB=∠BDF,∠AFE=∠BFD,
∴△AEF∽△BDF,

∴AE=6km,
在Rt△AEF中,CE=AE•tan74°≈20.9km.
故这艘轮船的航行路程CE的长度是20.9km.

如图,某校教学楼AB后方有一斜坡,已知斜坡CD的长为12米,坡角α为60°,根据有关部门的规定,∠α≤39°时,才能避免滑坡危险,学校为了消除安全隐患,决定对斜坡CD进行改造,在保持坡脚C不动的情况下,学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全?(结果取整数)
(参考数据:sin39°≈0.63,cos39°≈0.78,tan39°≈0.81,≈1.41,≈1.73,≈2.24)

【答案】学校至少要把坡顶D向后水平移动7米才能保证教学楼的安全.
【解析】试题分析:假设点D移到D′的位置时,恰好∠α=39°,过点D作DE⊥AC于点E,作D′E′⊥AC于点E′,根据锐角三角函数的定义求出DE、CE、CE′的长,进而可得出结论.
试题解析:假设点D移到D′的位置时,恰好∠α=39°,过点D作DE⊥AC于点E,作D′E′⊥AC于点E′,
∵CD=12米,∠DCE=60°,
∴DE=CD•sin60°=12×=6米,CE=CD•cos60°=12×=6米.
∵DE⊥AC,D′E′⊥AC,DD′∥CE′,
∴四边形DEE′D′是矩形,
∴DE=D′E′=6米.
∵∠D′CE′=39°,
∴CE′=≈12.8,
∴EE′=CE′﹣CE=12.8﹣6=6.8≈7(米).
答:学校至少要把坡顶D向后水平移动7米才能保证教学楼的安全.

(8分)如图,一楼房AB后有一假山,其坡度为,山坡坡面上E点处有一休息亭,测的假山坡脚C与楼房水平距离BC=25米,与亭子距离CE=20米,小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°,求楼房AB的高.(注:坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)

【答案】35+10
【解析】
试题过点E作EF⊥BC的延长线于F,EH⊥AB于点H,根据CE=20米,坡度为i=1:,分别求出EF、CF的长度,在Rt△AEH中求出AH,继而可得楼房AB的高.
试题解析:过点E作EF⊥BC的延长线于F,EH⊥AB于点H,在Rt△CEF中,∵i===tan∠ECF, ∴∠ECF=30°,∴EF=CE=10米,CF=10米, ∴BH=EF=10米, HE=BF=BC+CF=(25+10)米,在Rt△AHE中,∵∠HAE=45°, ∴AH=HE=(25+10)米,∴AB=AH+HB=(35+10)米.
答:楼房AB的高为(35+10)米

2017年9月8日—10日,第六届翼装飞行世界锦标赛在我市天门山风景区隆重举行,来自全球11个国家的16名选手参加了激烈的角逐.如图,某选手从离水平地面1000米高的A点出发(AB=1000米),沿俯角为的方向直线飞行1400米到达D点,然后打开降落伞沿俯角为的方向降落到地面上的C点,求该选手飞行的水平距离.

【答案】
【解析】如图,作DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,根据题意得到∠ADE=30°,∠CDF=30°,利用含30度的直角三角形三边的关系计算出AE=AD=700,DE=AE=700,则BE=300,所以DF=300,BF=700,再在Rt△CDF中计算出CF,然后计算BF和CF的和即可.
如图,作DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,∠ADE=30°,∠CDF=30°,

在Rt△ADE中,AE=AD=×1400=700,
DE=AE=700
∴BE=AB-AE=1000-700=300,
∴DF=300,BF=700
在Rt△CDF中,CF=DF=×300=100
∴BC=700+100=800
答:选手飞行的水平距离BC为800m.

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