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2019年高一数学下半年期末考试相关

2019年高一数学下半年期末考试带参考答案与解析

下列两个变量之间的关系不是函数关系的是( )
A. 出租车车费与出租车行驶的里程
B. 商品房销售总价与商品房建筑面积
C. 铁块的体积与铁块的质量
D. 人的身高与体重

【答案】D
【解析】
根据函数的概念来进行判断。
对于A选项,出租车车费实行分段收费,与出租车行驶里程成分段函数关系;
对于B选项,商品房的销售总价等于商品房单位面积售价乘以商品房建筑面积,商品房销售总价与商品房建筑面积之间是一次函数关系;
对于C选项,铁块的质量等于铁块的密度乘以铁块的体积,铁块的体积与铁块的质量是一次函数关系;
对于D选项,有些人又高又瘦,有些人又矮又胖,人的身高与体重之间没有必然联系,
因人而异,D选项中两个变量之间的关系不是函数关系。
故选:D。

在某次测量中得到样本数据如下:,若样本数据恰好是样本每个数都增加得到,则两样本的下列数字特征对应相同的是( )
A. 众数 B. 中位数 C. 方差 D. 平均数

【答案】C
【解析】
分别计算出两个样本数据的众数、中位数、方差和平均数,再进行判断。
样本的数据为:,没有众数,中位数为,平均数为,方差为
样本的数据为:,没有众数,中位数为,平均数为,方差为,因此,两个样本数据的方差没变,故选:D。

以下茎叶图记录了甲、乙两组各名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分).已知甲组数据的中位数为,乙组数据的平均数为,则的值分别为( )

A. B. C. D.

【答案】D
【解析】
将甲组和乙组数据从小到大列出来,然后利用位数的定义和平均数的公式列方程组,解出的值。
甲组的个数分别为,由于甲组数据的中位数为,则有,得
组的个数据分别为,由于乙组的平均数为,则有
,解得,故选:D。

某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分成6组:[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100]加以统计,得到如图所示的频率分布直方图。已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60分的学生人数为( )

A. 588 B. 480 C. 450 D. 120

【答案】B
【解析】
试题分析:根据频率分布直方图,得;该模块测试成绩不少于60分的频率是1-(0.005+0.015)×10=0.8,∴对应的学生人数是600×0.8=480

是两个不同的平面,是两条不同的直线,且( )
A. 若,则 B. 若,则
C. 若,则 D. 若,则

【答案】A
【解析】试题分析:由面面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一平面的一条垂线,则两面垂直,可得
可得

的内角所对边的长分别为,若,则角=( )
A. B.
C. D.

【答案】B
【解析】试题分析:,由正弦定理可得; 因为,所以,所以,而,所以,故选B.

已知直线是圆的对称轴.过点作圆的一条切线,切点为,则( )
A. B. C. D.

【答案】D
【解析】
将圆的方程配成标准形式,确定圆心的坐标与圆的半径长,将圆心坐标代入直线的方程,得出的值,并计算出,最后利用勾股定理计算
的标准方程为,圆心为,半径长为
易知,圆心在直线,则,得
,因此,
故选:D。

在三棱锥中,已知所有棱长均为的中点,则异面直线所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.

【答案】A
【解析】
的中点,连接,于是得到异面直线所成的角为,然后计算出的三条边长,并利用余弦定理计算出,即可得出答案。
如下图所示,取的中点,连接

由于分别为的中点,则,且
所以,异面直线所成的角为或其补角,
三棱锥是边长为的正四面体,则均是边长为的等边三角形,
的中点,则,且,同理可得
中,由余弦定理得
因此,异面直线所成角的余弦值为,故选:A。

已知圆和两点.若圆上存在点,使得,则的最大值为( ).
A. B. C. D.

【答案】C
【解析】的圆心,半径为
圆心的距离为
故圆上的点到点的距离的最大值为
再由可得,以为直径的圆和圆有交点,
可得
所以
的最大值为
故选

正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为,底面边长为,则该球的表面积等于( )
A. B. C. D.

【答案】D
【解析】
试题不妨设球的半径为,由题意得球心必在正四棱锥的高上,设为点,如图所示,棱锥的侧棱,过点垂直于,则的中点,所以,由为正四棱锥的中心,因此,即,解得,所以所求球的表面积为.故正确答案为D.

已知点,,在圆上运动,且,若点的坐标为,则的最大值为 ( )
A. B. C. D.

【答案】C
【解析】
根据已知条件得知点关于原点对称,利用对称性得出
并设点,计算出向量,利用向量模的坐标公式,将问题转化为点到圆上一点的距离的最大值(即 加上半径)求出即可。
的斜边,则为圆的一条直径,故必经过原点,
,即,设点
设点所以,
所以,,其几何意义为点到圆上的点的距离,
所以,,故选:C。

以边长为的正方形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体的侧面积是_____.

【答案】
【解析】
先确定旋转体为圆柱,根据条件得出圆柱的底面半径和母线长,然后利用圆柱侧面积公式计算可得出答案。
由题意可知,旋转体为圆柱,且底面半径为,母线长为
因此,旋转体的侧面积为,故答案为:

若直线过点,且平行于过点的直线,则直线的方程为_____

【答案】
【解析】
先利用斜率公式求出直线的斜率,由直线与直线平行,得出直线的斜率,再利用点斜式可得出直线的方程。
由于直线,则直线的斜率等于直线的斜率
又由于直线过点,所以直线的方程为,即
故答案为:

如图,⊙O的半径为,六边形是⊙O的内接正六边形,从六点中任意取两点,并连接成线段,则线段的长为的概率是_____.

【答案】
【解析】
先计算出所有线段条数的总数,并从中找出长度为的线段条数,利用古典概型概率公式计算所求事件的概率。
中任取两点的所有线段有:,共条,
其中长度为的线段有:,共条,
由古典概型的概率公式可知,线段的长为的概率是,故答案为:

如图,一热气球在海拔60m的高度飞行,在空中A处测得前下方河流两侧河岸的俯角分别为75°,30°,则河流的宽度等于_____m.

【答案】
【解析】
先计算出的长度,然后在中求出,利用正弦定理求出的长度。
在△ABC中,由

由正弦定理得
故答案为:

某制造商月生产了一批乒乓球,随机抽样个进行检查,测得每个球的直径(单位:mm),将数据分组如下表

分组

频数

频率

10

20

50

20

合计

100



(1)请在上表中补充完成频率分布表(结果保留两位小数),并在上图中画出频率分布直方图;
(2)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间的中点值是)作为代表.据此估计这批乒乓球直径的平均值(结果保留两位小数).

【答案】(1)见解析;(2) 40.00(mm)
【解析】
解:(1)频率分布表如下:

分组

频数

频率


[39.95,39.97)

10

0.10

5

[39.97,39.99)

20

0.20

10

[39.99,40.01)

50

0.50

25

[40.01,40.03]

20

0.20

10

合计

100

1


注:频率分布表可不要最后一列,这里列出,只是为画频率分布直方图方便.
频率分布直方图如下:

(2)整体数据的平均值约为39.96×0.10+39.98×0.20+40.00×0.50+40.02×0.20≈40.00(mm).

某地区有小学21所,中学14所,大学7所,现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查。
(I)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目。
(II)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析,
(1)列出所有可能的抽取结果;
(2)求抽取的2所学校均为小学的概率。

【答案】(1)3,2,1 (2)
【解析】
(1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3、2、1.
(2)①在抽取到的6所学校中,3所小学分别记为A1,A2,A3,2所中学分别记为A4,A5,大学记为A6,则抽取2所学校的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共15种.
②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},共3种.
所以P(B)=

已知圆经过三点.
(1)求圆的标准方程;
(2)若过点N 的直线被圆截得的弦AB的长为,求直线的倾斜角.

【答案】(1) (2) 30°或90°.
【解析】
(1)解法一:将圆的方程设为一般式,将题干三个点代入圆的方程,解出相应的参数值,即可得出圆的一般方程,再化为标准方程;
解法二:求出线段的中垂线方程,将两中垂线方程联立求出交点坐标,即为圆心坐标,然后计算为圆的半径,即可写出圆的标准方程;
(2)先利用勾股定理计算出圆心到直线的距离为,并对直线的斜率是否存在进行分类讨论:一是直线的斜率不存在,得出直线的方程为,验算圆心到该直线的距离为
二是当直线的斜率存在时,设直线的方程为,并表示为一般式,利用圆心到直线的距离为得出关于的方程,求出的值。结合前面两种情况求出直线的倾斜角。
(1)解法一:设圆的方程为

即圆
∴圆的标准方程为
解法二:则中垂线为,中垂线为
∴圆心满足
半径
∴圆的标准方程为
(2)①当斜率不存在时,即直线到圆心的距离为1,也满足题意,
此时直线的倾斜角为90°,
②当斜率存在时,设直线的方程为
由弦长为4,可得圆心 到直线的距离为

,此时直线的倾斜角为30°,
综上所述,直线的倾斜角为30°或90°.

中,内角对边分别为,已知.
(1)求的值;
(2)若,求的面积

【答案】(1)2 (2)
【解析】
(1)在题干等式中利用边化角思想,结合两角和的正弦公式、内角和定理以及诱导公式计算出,再利用角化边的思想可得出的比值;
(2)由(1)中的结果,结合余弦定理求出的值,再利用同角三角函数的平方关系求出,最后利用三角形的面积公式求出的面积
(1)由正弦定理得

所以

化简可得

所以
所以,即.
(2)由(1)知
由余弦定理
,.解得,因此
因为,且所以
因此

如图,三棱柱中,侧面为菱形,的中点为,且平面

(1)证明:
(2)若,试画出二面角的平面角,并求它的余弦值.

【答案】(1)见证明;(2)二面角图见解析;
【解析】
(1)由菱形的性质得出,由平面,得出,再利用直线与平面垂直的判定定理证明平面,于是得出
(2)过点在平面内作,垂足为点,连接,可证出平面,于是找出二面角的平面角为,并计算出的三边边长,利用锐角三角函数计算出,即为所求答案。
(1)连接

因为侧面为菱形,
所以,且相交于点.
因为平面平面
所以
,所以平面
因为平面,所以
(2)作,垂足为,连结


因为
所以平面
平面,所以.
所以是二面角的平面角.
因为,所以为等边三角形,
,所以
所以.
因为,所以.
所以.
中,.

已知圆和点.
(1)若点是圆上任意一点,求
(2)过圆 上任意一点 与点的直线,交圆于另一点,连接,求证:.

【答案】(1)2(2)见证明
【解析】
(1)设点的坐标为,得出,利用两点间的距离公式以及将关系式
代入可求出的值;
(2)对直线的斜率是否存在分类讨论。
①直线的斜率不存在时,由点的对称性证明结论;
②直线的斜率不存在时,设直线的方程为,设点,将直线的方程与圆的方程联立,列出韦达定理,通过计算直线的斜率之和为零来证明结论成立。
(1)证明:

,因为点是圆 上任意一点,
所以
所以

(2)①当直线的倾斜角为时,
因为点关于轴对称,所以.
②当直线的倾斜角不等于时,
设直线的斜率为,则直线的方程为
.
,则
.



.

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