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湖南九年级数学2018年后半期月考测验在线做题

湖南师大附中博才实验中学构溪湖校区于2018年秋季正式揭牌开学,校区位于麓云路和映日路交汇处西北角,规划用地面积约为62000m2,净用地面积约为51000m2,总建筑面积35819.6m2,办学规模54个班,62000用科学记数法表示为(  )
A. B. C. D.

【答案】B
【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,
解:62000用科学记数法表示为6.2×104.
故选:B.

下列运算正确的是(  )
A. B. C. D.

【答案】C
【解析】
分别根据同底数幂相乘,底数不变指数相加;幂的乘方,底数不变指数相乘;合并同类项,只把系数相加减,字母与字母的次数不变,对各选项计算后利用排除法求解.
解:A、,故本选项错误;
B、,不是同类项不能合并,故本选项错误;
C、,故本选项正确;
D、,不是同类项不能合并,故本选项错误;

下列图形中,既是中心对称,又是轴对称的是(  )
A. B. C. D.

【答案】C
【解析】
根据中心对称图形,轴对称图形的定义进行判断.
A、是中心对称图形,不是轴对称图形,故本选项错误;
B、不是中心对称图形,也不是轴对称图形,故本选项错误;
C、既是中心对称图形,又是轴对称图形,故本选项正确;
D、不是中心对称图形,是轴对称图形,故本选项错误.
故选C.

在平面直角坐标系xOy中,将点N(–1,–2)绕点O旋转180°,得到的对应点的坐标是
A. (1,2) B. (–1,2)
C. (–1,–2) D. (1,–2)

【答案】A
【解析】
根据点N(–1,–2)绕点O旋转180°,所得到的对应点与点N关于原点中心对称求解即可.
∵将点N(–1,–2)绕点O旋转180°,
∴得到的对应点与点N关于原点中心对称,
∵点N(–1,–2),
∴得到的对应点的坐标是(1,2).
故选A.

对下列生活现象的解释其数学原理运用错误的是( )
A.把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理
B.木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短”的原理
C.将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理
D.将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理

【答案】B.
【解析】
试题分析:选项A,把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理,正确;选项B,木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“两点确定一条直线”的原理,错误;选项C,将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理,正确;选项D,将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理,正确,故答案选B.

如图,四边形ABCD内接于⊙O,E是BC延长线上一点,若∠BAD=100°,则∠DCE的大小是(  )

A. B. C. D.

【答案】C
【解析】
由圆的内接四边形的性质,可得∠BAD+∠BCD=180°,又由邻补角的定义可得:∠BCD+∠DCE=180°,可得∠DCE=∠BAD.
解:∵∠BAD=100°,
∴∠BCD=180°-∠BAD=80°,
∴∠DCE=180°-∠BCD=100°.
故选:C.

如图,BC是⊙O的直径,A是⊙O上的一点,∠OAC=32°,则∠B的度数是(  )

A. 58° B. 60° C. 64° D. 68°

【答案】A
【解析】
根据,根据等边对等角得到根据是直径,
得到根据直角三角形的性质即可求得的度数.
因为均为半径,
所以
所以
因为是直径,
所以
中,

故选:A.

如图,在⊙O中,直径CD⊥弦AB,则下列结论中正确的是( )

A. AC=AB B. ∠C=∠BOD C. ∠C=∠B D. ∠A=∠BOD

【答案】B
【解析】
试题A.根据垂径定理不能推出AC=AB,故A选项错误;
B.∵直径CD⊥弦AB,∴,∵对的圆周角是∠C,对的圆心角是∠BOD,∴∠BOD=2∠C,故B选项正确;
C.不能推出∠C=∠B,故C选项错误;
D.不能推出∠A=∠BOD,故D选项错误;
故选B.

如图,AB是⊙O的直径,PA切⊙O于点A,PO交⊙O于点C,连结BC.若∠P=36°,则∠B等于( )


A.27° B.30° C.36° D.54°

【答案】A
【解析】
试题分析:∵AB是⊙O的直径,PA切⊙O于点A,∴OA⊥PA,即∠PAO=90°,∵∠P=36°,∴∠POA=90°﹣∠P=54°,∠B=∠POA=27°,∵OC=OB,∴∠BCO=∠B=27°.故选A.

如图,在△ABC 中,AB=8,AC=6,∠BAC=30°,将△ABC 绕点 A 逆时针旋转 60°得到△AB1C1,连接 BC1,则 BC1 的长为( )

A. 6 B. 8 C. 10 D. 12

【答案】C
【解析】
由旋转的性质,再根据∠BAC=30°,旋转60°,可得到∠BAC1=90°,结合勾股定理即可求解.
解:∵△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1,
∴∠BAC=∠BAC+∠CAC1=30°+60°=90°,
AC1=AC=6,
在RtBAC1中,∠BAC=90°,AB=8,AC1=6,
,故本题选择C.

《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著,代表了东方数学的最高成就.它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用.书中记载:“今有圆材埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”译为:“今有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知其大小,用锯去锯这木材,锯口深1寸(ED=1寸),锯道长1尺(AB=1尺=10寸)”,问这块圆形木材的直径是多少?”
如图所示,请根据所学知识计算:圆形木材的直径AC是(  )

A. 13寸 B. 20寸 C. 26寸 D. 28寸

【答案】C
【解析】设⊙O的半径为r.在Rt△ADO中,AD=5,OD=r-1,OA=r,则有r2=52+(r-1)2,解方程即可.
设⊙O的半径为r.
在Rt△ADO中,AD=5,OD=r-1,OA=r,
则有r2=52+(r-1)2,
解得r=13,
∴⊙O的直径为26寸,
故选:C.

如图,△ABC是⊙O的内接三角形,AB=AC,∠BCA=65°,作CD∥AB,并与○O相交于点D,连接BD,则∠DBC的大小为

A. 15° B. 35° C. 25° D. 45°

【答案】A
【解析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠A =50°,再根据平行线的性质可得∠ACD=∠A=50°,由圆周角定理可行∠D=∠A=50°,再根据三角形内角和定理即可求得∠DBC的度数.
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=65°,∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=50°,
∵DC//AB,∴∠ACD=∠A=50°,
又∵∠D=∠A=50°,
∴∠DBC=180°-∠D -∠BCD=180°-50°-(65°+50°)=15°,
故选A.

平面直角坐标系中,点P(-4,2)与P1关于原点对称,则P1的坐标是______.

【答案】(4,-2)
【解析】
根据关于原点对称的点的坐标特点解答.
解:点P(-4,2)与(4,-2)关于原点对称,
∴P1的坐标是(4,-2),
故答案为:(4,-2).

如图,点A,B、C是⊙O上的点,∠AOB=80°,则∠ACB的度数是______.

【答案】40°
【解析】
直接利用圆周角定理求解.
解:∵∠AOB=80°,
∴∠ACB=∠AOB=40°.
故答案为40°.

如图,将绕点A逆时针旋转,得到,这时点恰好在同一直线上,则的度数为______.

【答案】15
【解析】先判断出∠BAD=150°,AD=AB,再判断出△BAD是等腰三角形,最后用三角形的内角和定理即可得出结论.
∵将△ABC绕点A逆时针旋转150°,得到△ADE,
∴∠BAD=150°,AD=AB,
∵点B,C,D恰好在同一直线上,
∴△BAD是顶角为150°的等腰三角形,
∴∠B=∠BDA,
∴∠B=(180°-∠BAD)=15°,
故答案为:15°.

如图,在矩形ABCD中,AD=3,将矩形ABCD绕点A逆时针旋转,得到矩形AEFG,点B的对应点E落在CD上,且DE=EF,则AB的长为_____.

【答案】3
【解析】
根据旋转的性质知AB=AE,在直角三角形ADE中根据勾股定理求得AE长即可得.
∵四边形ABCD是矩形,∴∠D=90°,BC=AD=3,
∵将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEFG,
∴EF=BC=3,AE=AB,
∵DE=EF,
∴AD=DE=3,
∴AE==3
∴AB=3
故答案为:3.

如图,方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度,点O,A,B,C在格点(两条网格线的交点叫格点)上,以点O为原点建立直角坐标系,则过A,B,C三点的圆的圆心坐标为_____.

【答案】(-1,-2)
【解析】连接CB,作CB的垂直平分线,根据勾股定理和半径相等得出点O的坐标即可.
连接CB,作CB的垂直平分线,如图所示:

在CB的垂直平分线上找到一点D,
CD═DB=DA=
所以D是过A,B,C三点的圆的圆心,
即D的坐标为(﹣1,﹣2),
故答案为:(﹣1,﹣2),

如图,线段AB与⊙O相切于点B,线段AO与⊙O相交于点C,AB=12,AC=8,则⊙O的半径长为_____.

【答案】5
【解析】连接OB,根据切线的性质,得 ,设半径为r,利用勾股定理,得 解得:r=5

先化简,再求值:,其中a=+1.

【答案】
【解析】
根据分式的运算法则即可求出答案.
当a=+1时,
原式=
=
=
=
=2.

学校需要添置教师办公桌椅A、B两型共200套,已知2套A型桌椅和1套B型桌椅共需2000元,1套A型桌椅和3套B型桌椅共需3000元.
(1)求A,B两型桌椅的单价;
(2)若需要A型桌椅不少于120套,B型桌椅不少于70套,平均每套桌椅需要运费10元.设购买A型桌椅x套时,总费用为y元,求y与x的函数关系式,并直接写出x的取值范围;
(3)求出总费用最少的购置方案.

【答案】(1)A,B两型桌椅的单价分别为600元,800元;(2)y=﹣200x+162000(120≤x≤140);(3)购买A型桌椅140套,购买B型桌椅60套,总费用最少,最少费用为134000元.
【解析】
(1)根据“2套A型桌椅和1套B型桌椅共需2000元,1套A型桌椅和3套B型桌椅共需3000元”,建立方程组即可得出结论;
(2)根据题意建立函数关系式,由A型桌椅不少于120套,B型桌椅不少于70套,确定出x的范围;
(3)根据一次函数的性质,即可得出结论.
(1)设A型桌椅的单价为a元,B型桌椅的单价为b元,
根据题意知,
解得,
即:A,B两型桌椅的单价分别为600元,800元;
(2)根据题意知,y=600x+800(200﹣x)+200×10=﹣200x+162000(120≤x≤140),
(3)由(2)知,y=﹣200x+162000(120≤x≤140),
∴当x=140时,总费用最少,
即:购买A型桌椅140套,购买B型桌椅60套,总费用最少,最少费用为134000元.

计算:-12+|-|-()0+(-)-1

【答案】-1
【解析】
分别根据0指数幂、负整数指数幂的计算法则计算出各数,再根据实数混合运算的法则进行计算即可.
解:原式=-1+3-1-2 ,
=-1.

如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(1,1),B(4,1),C(3,3).
(1)将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1;
(2)将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2,请画出△A2B2C2;
(3)判断以O,A1,B为顶点的三角形的形状.(无须说明理由)

【答案】(1)画图见解析;(2)画图见解析;(3)三角形的形状为等腰直角三角形.
【解析】(1)利用点平移的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标,然后描点即可得到△A1B1C1为所作;
(2)利用网格特定和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2、B2、C2,从而得到△A2B2C2,
(3)根据勾股定理逆定理解答即可.
(1)如图所示,△A1B1C1即为所求;

(2)如图所示,△A2B2C2即为所求;
(3)三角形的形状为等腰直角三角形,OB=OA1=,A1B==
即OB2+OA12=A1B2,
所以三角形的形状为等腰直角三角形.

在平面直角坐标系中,四边形AOBC是矩形,点O(0,0),点A(5,0),点B(0,3).以点A为中心,顺时针旋转矩形AOBC,得到矩形ADEF,点O,B,C的对应点分别为D,E,F.
(1)如图①,当点D落在BC边上时,求点D的坐标;
(2)如图②,当点D落在线段BE上时,AD与BC交于点H.
①求证△ADB≌△AOB;
②求点H的坐标.
(3)记K为矩形AOBC对角线的交点,S为△KDE的面积,求S的取值范围(直接写出结果即可).

【答案】(1)D(1,3);(2)①详见解析;②H(,3);(3)≤S≤
【解析】
(1)如图①,在Rt△ACD中求出CD即可解决问题;
(2)①根据HL证明即可;
②,设AH=BH=m,则HC=BC-BH=5-m,在Rt△AHC中,根据AH2=HC2+AC2,构建方程求出m即可解决问题;
(3)如图③中,当点D在线段BK上时,△DEK的面积最小,当点D在BA的延长线上时,△D′E′K的面积最大,求出面积的最小值以及最大值即可解决问题;
(1)如图①中,

∵A(5,0),B(0,3),
∴OA=5,OB=3,
∵四边形AOBC是矩形,
∴AC=OB=3,OA=BC=5,∠OBC=∠C=90°,
∵矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到,
∴AD=AO=5,
在Rt△ADC中,CD==4,
∴BD=BC-CD=1,
∴D(1,3).
(2)①如图②中,

由四边形ADEF是矩形,得到∠ADE=90°,
∵点D在线段BE上,
∴∠ADB=90°,
由(1)可知,AD=AO,又AB=AB,∠AOB=90°,
∴Rt△ADB≌Rt△AOB(HL).
②如图②中,由△ADB≌△AOB,得到∠BAD=∠BAO,
又在矩形AOBC中,OA∥BC,
∴∠CBA=∠OAB,
∴∠BAD=∠CBA,
∴BH=AH,设AH=BH=m,则HC=BC-BH=5-m,
在Rt△AHC中,∵AH2=HC2+AC2,
∴m2=32+(5-m)2,
∴m=
∴BH=
∴H(,3).
(3)如图③中,当点D在线段BK上时,△DEK的面积最小,最小值=•DE•DK=×3×(5-)=

当点D在BA的延长线上时,△D′E′K的面积最大,最大面积=×D′E′×KD′=×3×(5+)=
综上所述,≤S≤

如图,AB为半圆的直径,O为半圆的圆心,AC是弦,取弧的中点D,过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)当AB=10,AC=5时,求CE的长;
(3)连接CD,AB=10.当=时,求DE的长.

【答案】(1)详见解析;(2)CE =;(3)DE =4.
【解析】
(1)连接OD,如图,根据圆周角定理得到∠BAD=∠CAD,再证明OD∥AC,然后利用DE⊥AE得到OD⊥DE,然后根据切线的判定定理得到结论;
(2)作OH⊥AC于H,如图,根据垂径定理得到AH=CH=,易得四边形ODEH为矩形,则OD=HE=AB=5,然后计算HE-HC即可;
(3)根据三角形面积公式,由=得到CE:AE=1:4,设CE=x,则AE=4x,所以AH=CH=x,则HE=x,然后利用HE=OD得x=2,则AH=3,然后根据勾股定理计算出OH,从而得到DE的长.
(1)证明:连接OD,如图,
∵点D为的中点,
=
∴∠BAD=∠CAD,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∴∠ODA=∠DAC,
∴OD∥AC,
∴DE⊥AE,
∴OD⊥DE,
∴DE是⊙O的切线;
(2)解:作OH⊥AC于H,如图,则AH=CH=AC=

易得四边形ODEH为矩形,
∴OD=HE=AB=5,
∴CE=HE-HC=5-=
(3)解:∵=
∴CE:AE=1:4,
设CE=x,则AE=4x,
则AH=CH=x,
∴HE=x+x=x,
∵HE=OD,
x=5,解得x=2,
∴AH=3,
在Rt△AOH中,OH==4,
∴DE=OH=4.

如图,Rt△OAB如图所示放置在平面直角坐标系中,直角边OA与x轴重合,∠OAB=90°,OA=4,AB=2,把Rt△OAB绕点O逆针旋转90°,点B旋转到点C的位置,一条抛物找正好经过点O,C,A三点.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)在x轴上方的抛物线上有一动点P,过点P作x轴的平行线交抛物线于点D,分别过点P,点D作x轴的垂线,交x轴于R,S两点,问:四边形PRSD的周长是否有最大值?如果有,请求出最值,并写出解答过程;如果没有,请说明理由.
(3)如图2,把点B向下平移两个单位得到点T,过O,T两点作⊙Q交x轴,y轴于E,F两点,若M、N分别为弧的中点,作MG⊥EF,NH⊥EF,垂足为G、H,试求MG+NH的值.

【答案】(1)y=-x2+4x;(2)当a=1时,矩形PEFM的周长有最大值10;(3)MG+NH=4.
【解析】
(1)根据旋转变换的性质求出点C的坐标,利用待定系数法求出抛物线的解析式;
(2)设点P的坐标为P(a,-a2+4a),根据抛物线的对称性求出RS,根据二次函数的性质计算;
(3)作TK⊥x轴于K,TJ⊥y轴于J,连接TF,TE,延长NH交⊙Q于R,证明△ETK≌△FTJ,根据全等三角形的性质得到EK=FJ,得到OE+OF=8,根据垂径定理得到NH=NR=OF,计算即可.
解:(1)设y=ax2+bx+c,
∵OA=4,AB=2,
∴点A的坐标为(4,0),点B的坐标为(4,-2),
△AOB绕点O逆时针旋转90°,点B旋转到点C的位置,
∴点C的坐标为(2,4),

解得
所以抛物线的解析式为y=-x2+4x;
(2)有最大值.
理由如下:设点P的坐标为P(a,-a2+4a),PR=DS=-a2+4a,
由抛物线的对称性知OR=AS,RS=PD=4-2a,
矩形PRSD的周长=2[4-2a+(-a2+4a)]=-2(a-1)2+10,

所以当a=1时,矩形PEFM的周长有最大值10;
(3)作TK⊥x轴于K,TJ⊥y轴于J,连接TF,TE,延长NH交⊙Q于R,
由题意得,点T的坐标为(4,-4,),即TJ=TK=4,
∴点T在∠EOF的平分线上,
=
∴TE=TF,
在Rt△TKE和Rt△TJF中,

∴△ETK≌△FTJ(HL),
∴EK=FJ,∠EOF=∠KTJ=90°,
∴OE+OF=OK-EK+OJ+FJ=OJ+OK=8,
∴EF为⊙Q的直径,
=
∵N为的中点,
=
=
∴NR=OF,
∴NH=NR=OF,
同理MG=OE,
∴MG+NH=(OE+OF)=×8=4.

在平面直角坐标系xOy中,点M的坐标为(x1,y1),点N的坐标为(x2,y2),且x1≠x2,y1≠y2,以MN为边构造菱形,若该菱形的两条对角线分别平行于x轴,y轴,则称该菱形为边的“坐标菱形”.
(1)已知点A(1,0),B(0,),则以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为______;
(2)若点C(2,1),点D在直线y=5上,以CD为边的坐标菱形”为正方形,求育直线CD表达式;
(3)⊙O的半径为,点P的坐标为(3,m),若在⊙O上存在一点Q,使得以QP为边的“坐标菱形”为正方形,求m的取值范围.

【答案】(1)60°;(2)y=x-1或y=-x+3;(3)m的取值范围是1≤m≤5或-5≤m≤-1.
【解析】
(1)根据定义建立以AB为边的“坐标菱形”,由勾股定理求边长AB=4,可得30度角,从而得最小内角为60°;
(2)先确定直线CD与直线y=5的夹角是45°,得D(6,5)或(-2,5),易得直线CD的表达式为:y=x-1或y=-x+3;
(3)分两种情况:①先作直线y=x,再作圆的两条切线,且平行于直线y=x,如图3,根据等腰直角三角形的性质分别求P'B=BD=1,PB=5,写出对应P的坐标;
②先作直线y=-x,再作圆的两条切线,且平行于直线y=-x,如图4,同理可得结论.
解:(1)如图1中,

点A(1,0),B(0,),
∴OA=1,OB=
在Rt△AOB中,由勾股定理得:AB==2,
∵sin∠ABO==
∴∠ABO=30°,
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠ABC=2∠ABO=60°,
∵AB∥CD,
∴∠DCB=180°-60°=120°,
∴以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为60°,
故答案为:60°;
(2)如图2中,

∵以CD为边的“坐标菱形”为正方形,
∴直线CD与直线y=5的夹角是45°.
过点C作CE⊥DE于E.
∴D(6,5)或(-2,5).
∴直线CD的表达式为:y=x-1或y=-x+3;
(3)分两种情况:
①先作直线y=x,再作圆的两条切线,且平行于直线y=x,如图3,

∵⊙O的半径为,且△OQ'D是等腰直角三角形,
∴OD=OQ'=2,
∴P'D=3-2=1,
∵△P'DB是等腰直角三角形,
∴P'B=BD=1,
∴P'(0,1),
同理可得:OA=2,
∴AB=3+2=5,
∵△ABP是等腰直角三角形,
∴PB=5,
∴P(0,5),
∴当1≤m≤5时,以QP为边的“坐标菱形”为正方形;
②先作直线y=-x,再作圆的两条切线,且平行于直线y=-x,如图4,

∵⊙O的半径为,且△OQ'D是等腰直角三角形,
∴OD=OQ'=2,
∴BD=3-2=1,
∵△P'DB是等腰直角三角形,
∴P'B=BD=1,
∴P'(0,-1),
同理可得:OA=2,
∴AB=3+2=5,
∵△ABP是等腰直角三角形,
∴PB=5,
∴P(0,-5),
∴当-5≤m≤-1时,以QP为边的“坐标菱形”为正方形;
综上所述,m的取值范围是1≤m≤5或-5≤m≤-1.

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