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浙教版九年级数学上册 第一章 二次函数 单元检测

二次函数y=-2(x+1)2+3的图象的顶点坐标是(  )
A. (1,3) B. (-1,3) C. (1,-3) D. (-1,-3)

【答案】B
【解析】
据二次函数的顶点式,可直接得出其顶点坐标;
解:∵二次函数的解析式为:y=-(x-1)2+3,
∴其图象的顶点坐标是:(1,3);
故选A。

在平面直角坐标系中,将二次函数的图象向上平移2个单位,所得图象的表达式为( )
A. B. C. D.

【答案】B
【解析】∵二次函数图像平移的规律为“左加右减,上加下减”
∴二次函数的图象向上平移2个单位,所得所得图象的解析式为.
故选B.

把抛物线先向左平移1个单位,再向下平移2个单位长度后,所得的函数表达式为( )
A. B.
C. D.

【答案】B
【解析】由“左加右减,上加下减”的原则可知,将抛物线y=先向左平移1个单位,再向下平移2个单位长度,所得函数解析式为:y=.
故选B.

已知抛物线y=ax2+bx+c的开口向下,顶点坐标为(2,-3),那么该抛物线有(  )
A. 最小值-3 B. 最大值-3 C. 最小值2 D. 最大值2

【答案】B
【解析】因为抛物线y=ax2+bx+c的开口向下,所以该抛物线有最大值,结合顶点坐标为(2,-3)解答即可.
∵抛物线y=ax2+bx+c的开口向下,
∴该抛物线有最大值,
∵顶点坐标为(2,-3),
∴该抛物线有最大值-3.
故选B.

若函数 是关于x的二次函数,则m的取值为( )
A. ±1 B. 1 C. -1 D. 任何实数

【答案】B
【解析】
由题意得,
m=-1,选C.

已知二次函数的图象如图所示,有下列四个结论:①;②;③;④,其中正确的个数有( )

A. 个 B. 个 C. 个 D.

【答案】C
【解析】
由抛物线开口向下知道a<0,而对称轴在y轴左侧,即b<0,因此判断①正确;
由抛物线与y轴的交点在正半轴得到c>0,因此可以判断②正确;
由图象与x轴有两个交点得到以b2-4ac>0,因此可以判断③正确;
由图象可知当x=-1时,对应的函数值y=a-b+c>0,所以判断④错误.
①∵抛物线开口向下,∴a<0,而对称轴在y轴左侧,∴a、b同号,即b<0,正确;
②∵抛物线与y轴的交点在正半轴,∴c>0,正确;
③∵图象与x轴有两个交点,∴b2−4ac>0,正确;
④∵由图象可知当x=−1时,对应的函数值y=a−b+c>0,错误.
故答案选C.

在平面直角坐标系中,下列函数的图象经过原点的是(  )
A. y=﹣x+3 B. y= C. y=2x D. y=﹣2x2+x﹣7

【答案】C
【解析】将(0,0)代入各选项进行判断即可.
解:A、当x=0时,y=3,不经过原点,故本选项错误;
B、反比例函数,不经过原点,故本选项错误;
C、当x=0时,y=0,经过原点,故本选项正确;
D、当x=0时,y=﹣7,不经过原点,故本选项错误;
故选C.

如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交,其顶点坐标为(,1),下列结论:①ac<0;②a+b=0;③4ac﹣b2=4a;④a+b+c<0.其中正确结论的个数是(  )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】C
【解析】
①根据图象知道:a<0,c>0,∴ac<0,故①正确;
②∵顶点坐标为(1/2 ,1),∴x="-b/2a" ="1/2" ,∴a+b=0,故②正确;
③根据图象知道:x=1时,y=a++b+c>0,故③错误;
④∵顶点坐标为(1/2 ,1),∴=1,∴4ac-b2=4a,故④正确.
其中正确的是①②④.故选C

如图,直线y=ax+b与抛物线y=ax2+bx+c的图象在同一坐标系中可能是( )
A. B. C. D.

【答案】B
【解析】
根据直线与抛物线在坐标系中的位置,判断出a、b的符号,由此即可解答.
选项A,由二次函数的图象可得a>0,b<0,由一次函数的图象可得a<0,b>0,由此可知选项A错误;
选项B,由一次函数的图象可得a>0,b=0,由二次函数的图象可得a>0,b=0,由此可知选项B正确;
选项C,由一次函数的图象可得a>0,b>0,由二次函数的图象可得a<0,b<0,由此可知选项C错误;
选项D,由一次函数的图象可得a>0,b<0,由二次函数的图象可得a<0,b>0,由此可知选项D错误.
故选B.

将二次函数y=x2﹣4x+5化成y=(x﹣h)2+k的形式,则y= .

【答案】y=(x﹣2)2+1.
【解析】y=x2-4x+5=x2-4x+4+1=(x-2)2+1.

小明推铅球,铅球行进高度与水平距离之间的关系为,则小明推铅球的成绩是________

【答案】
【解析】
根据铅球落地时,高度y=0,把实际问题可理解为当y=0时,求x的值即可.
令函数式中,y=0,

解得x1=10,x2=-2(舍去).
即铅球推出的距离是10m.
故答案为:10.

将抛物线向左平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度,得到的抛物线的解___.

【答案】
【解析】解:将抛物线y=4x2向左平移3个单位所得直线解析式为:y=4(x+3)2;
再向下平移2个单位为:y=4(x+3)2﹣2.故答案为:y=4(x+3)2﹣2.

二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示,当函数值y<0时,自变量x的取值范围是 .


【答案】-1<x<3
【解析】
试题分析:根据二次函数的图像与性质,可直接通过读图可找到y<0时的x的取值范围为-1<x<3.

已知实数满足,则的最大值为________.

【答案】16
【解析】
先把x2-3x+4y=7变形,再代入3x+4y,利用二次函数的最值表达式求值.
把x2−3x+4y=7,变形4y=−x2+3x+7,
将4y代入到3x+4y,则z=3x+4y=3x−x2+3x+7=−x2+6x+7,
函数的开口向下有最大值为:
故答案为:16.

某抛物线的部分图象如图所示,则当<0时,的取值范围是__________________.


【答案】
【解析】
试题分析:根据二次函数的对称性可得:函数与x轴的交点坐标为(-1,0)和(3,0),则当x<-1或x>3时,y<0.

某种产品原来的成本为185元,经过两次降价后为y元,如果每次的降价率都为x,则y与x的函数关系式为________.

【答案】y=185(1﹣x)2
【解析】
原来的售价为185元,第一次降价后的价格是185×(1-x)元,第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的为:185×(1-x)×(1-x)=150(1-x)2元,由此即可求得y与x的函数关系式.
设两次降价的平均降价率为x,根据题意可得:
y与x之间的函数关系为:y=185(1-x)2.
故答案为y=185(1-x)2.

在平面直角坐标系xOy中,将抛物线y=3(x+2)2-1平移后得到抛物线y=3x2+2 .请你写出一种平移方法. 答:________.

【答案】答案不唯一
【解析】
把y改写成顶点式,进而解答即可.
y先向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位得到抛物线.
故答案为:y先向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位得到抛物线.

如图,用50m长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园,写出长方形花园的面积y(m2)与它与墙平行的边的长x(m)之间的函数.

【答案】y=﹣0.5x2+25x.
【解析】
根据已知条件,用x表示出矩形的宽,再利用矩形的面积公式即可求解.
设与墙平行的边的长为x(m),则垂直于墙的边长为: =(25﹣0.5x)m,
根据题意得出:y=x(25﹣0.5x)=﹣0.5x2+25x.

如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=5米,AC=12米.M点在线段CA上,从C向A运动,速度为1米/秒;同时N点在线段AB上,从A向B运动,速度为2米/秒.运动时间为t秒.

(1)当t为何值时,∠AMN=∠ANM?
(2)当t为何值时,△AMN的面积最大?并求出这个最大值.

【答案】(1)4(2)当t=6时,△AMN的面积最大,最大值为
【解析】解:(1)∵从C向A运动,速度为1米/秒;同时N点在线段AB上,从A向B运动,速度为2米/秒,运动时间为t秒,
∴AM=12﹣t,AN=2t。
∵∠AMN=∠ANM,∴AM=AN,即12﹣t=2t,解得:t=4 秒。
∴当t为4时,∠AMN=∠ANM。
(2)如图作NH⊥AC于H,

∴∠NHA=∠C=90°。∴NH∥BC。
∴△ANH∽△ABC。
,即。∴NH=

∴当t=6时,△AMN的面积最大,最大值为
(1)用t表示出AM和AN的值,根据AM=AN,得到关于t的方程求得t值即可。
(2)作NH⊥AC于H,证得△ANH∽△ABC,从而得到比例式,然后用t表示出NH,从而计算其面积得到有关t的二次函数求最值即可。

一家图文广告公司制作的宣传画板颇受商家欢迎,这种画板的厚度忽略不计,形状均为正方形,边长在10~30dm之间.每张画板的成本价(单位:元)与它的面积(单位:dm2)成正比例,每张画板的出售价(单位:元)由基础价和浮动价两部分组成,其中基础价与画板的大小无关,是固定不变的.浮动价与画板的边长成正比例.在营销过程中得到了表格中的数据.

画板的边长(dm)

10

20

出售价(元/张)

160

220


(1)求一张画板的出售价与边长之间满足的函数关系式;
(2)已知出售一张边长为30dm的画板,获得的利润为130元(利润=出售价-成本价),
①求一张画板的利润与边长之间满足的函数关系式;
②当边长为多少时,出售一张画板所获得的利润最大?最大利润是多少?

【答案】(1)满足函数关系式y=6x+100;(2)①W=-x2+6x+100;②正方形画板的边长为18dm时,可获最大利润154元.
【解析】
试题(1)每张画板的成本价与它的面积成正比例,可设其解析式为y成本价=ax2,每张画板的出售价由基础价和浮动价两部分组成,其中基础价与画板的大小无关,是固定不变的.浮动价与画板的边长成正比例.可设y出售价=kx+b.把表中数据代入即可求出结论;
(2)由y利润=y出售价-y成本价,可得出二次函数,求出其最大值即可.
试题解析:(1)设正方形画板的边长为xdm,出售价为每张y元,且y=kx+b(k≠0) (1分)
由表格中的数据可得,,解得
从而一张画板的出售价y与边长x之间满足函数关系式y=6x+100
(2)设每张画板的成本价为ax2,利润W=6x+100-ax2
当x=30时,W=130,180+100-900a=130,得a=
一张画板的利润W与边长x之间满足函数关系式W=-x2+6x+100
由W=-16(x-18)2+154,知当x=18时,W有最大值,W最大=154
因此当正方形画板的边长为18dm时,可获最大利润154元.
考点: 1.一次函数表达式;2.二次函数表达式;3.二次函数的最大值.

如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=x+m (m为常数)的图像与x轴交于点A(-3,0),与y轴交于点C.以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)经过A、C两点,并与x轴的正半轴交于点B.

(1)求m的值及抛物线的函数表达式;
(2)若P是抛物线对称轴上一动点,△ACP周长最小时,求出P的坐标;
(3)是否存在抛物在线一动点Q,使得△ACQ是以AC为直角边的直角三角形?若存在,求出点Q的横坐标;若不存在,请说明理由;
(4)在(2)的条件下过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于M1(x1,y1),M2(x2,y2)两点,试问是否为定值,如果是,请直接写出结果,如果不是请说明理由.

【答案】(1),y=−x2+x+;(2)(1,3);(3)存在,5.2 ,7.2;(4)是.
【解析】
试题(1)首先求得m的值和直线的解析式,根据抛物线对称性得到B点坐标,根据A、B点坐标利用交点式求得抛物线的解析式;
(2)确定何时△ACP的周长最小.利用轴对称的性质和两点之间线段最短的原理解决;确定P点坐标P(1,3),从而直线M1M2的解析式可以表示为y=kx+3-k;
(3)存在, 设Q(x,-x2+x+)①若C为直角顶点, 则由△ACO相似于△CQE,得x=5.2,②若A为直角顶点,则由△ACO相似于△AQE,得x=8.2从而求出Q点坐标.
(4)利用两点间的距离公式,分别求得线段M1M2、M1P和M2P的长度,相互比较即可得到结论:为定值.
试题解析:(1)∵y=x+m经过点(-3,0),
∴0=−+m,解得m=
∴直线解析式为y=x+,C(0,).
∵抛物线y=ax2+bx+c对称轴为x=1,且与x轴交于A(-3,0),∴另一交点为B(5,0),
设抛物线解析式为y=a(x+3)(x-5),
∵抛物线经过C(0,),
=a•3(-5),解得a=−
∴抛物线解析式为y=−x2+x+
(2)要使△ACP的周长最小,只需AP+CP最小即可.如图2,

连接BC交x=1于P点,因为点A、B关于x=1对称,根据轴对称性质以及两点之间线段最短,可知此时AP+CP最小(AP+CP最小值为线段BC的长度).
∵B(5,0),C(0,),
∴直线BC解析式为y=−x+
∵xP=1,∴yP=3,即P(1,3).
(3) (3)存在 设Q(x, −x2+x+)
①若C为直角顶点, 则由△ACO相似于△CQE,得x=5.2
②若A为直角顶点,则由△ACO相似于△AQE,得x=8.2
∴Q的横坐标为5.2 ,7.2
(4)令经过点P(1,3)的直线为y=kx+b,则k+b=3,即b=3-k,
则直线的解析式是:y=kx+3-k,
∵y=kx+3-k,y=−x2+x+
联立化简得:x2+(4k-2)x-4k-3=0,
∴x1+x2=2-4k,x1x2=-4k-3.
∵y1=kx1+3-k,y2=kx2+3-k,∴y1-y2=k(x1-x2).
根据两点间距离公式得到:

=4(1+k2).


同理



=4(1+k2).
∴M1P•M2P=M1M2,
为定值.
考点: 二次函数综合题.

某商店购进一批单价为16元的日用品,销售一段时间后,为了获取更多利润, 商店决定提高销售价格,经试验发现,若按每件20元的价格销售时,每月能卖360件; 若按每件25元的价格销售时,每月能卖210件.假定每月销售件数y(件)是价格x( 元/件)的一次函数.
(1)试求y与x之间的函数关系式;
(2)在商品不积压,且不考虑其他因素的条件下,问销售价格为多少时,才能使每月获得最大利润?每月的最大利润是多少?(总利润=总收入-总成本).

【答案】
【1】
【2】
【解析】
试题(1)设y=kx+b,由x=20时,y=360;x=25时,y=210根据待定系数法即得结果;
(2)先根据总利润=单利润×销售量列出函数关系式,再根据二次函数的性质即可求得结果.
(1)设y=kx+b,
∵当x=20时,y=360;x=25时,y=210
,解得
∴y=-30x+960(16≤x≤32);
(2)设每月所得总利润为w元,
则 w=(x-16)y=(x-16)(-30x+960)=-30(x-24)2+ 1920.
∵-30<0
∴当x=24时,w有最大值.
即销售价格定为24元/件时,才能使每月所获利润最大, 每月的最大利润为1920元.

如图1,已知二次函数(a、b、c为常数,a≠0)的图象过点O(0,0)和点A(4,0),函数图象最低点M的纵坐标为,直线l的解析式为y=x.

(1)求二次函数的解析式;
(2)直线l沿x轴向右平移,得直线l′,l′与线段OA相交于点B,与x轴下方的抛物线相交于点C,过点C作CE⊥x轴于点E,把△BCE沿直线l′折叠,当点E恰好落在抛物线上点E′时(图2),求直线l′的解析式;
(3)在(2)的条件下,l′与y轴交于点N,把△BON绕点O逆时针旋转135°得到△B′ON′,P为l′上的动点,当△PB′N′为等腰三角形时,求符合条件的点P的坐标.

【答案】(1);(2)y=x﹣3;(3)P坐标为(0,﹣3)或()或().
【解析】试题(1)由题意抛物线的顶点坐标为(2,),设抛物线的解析式为,把(0,0)代入得到a=,即可解决问题;
(2)如图1中,设E(m,0),则C(m,),B(,0),由E、B关于对称轴对称,可得=2,由此即可解决问题;
(3)分两种情形求解即可①当P1与N重合时,△P1B′N′是等腰三角形,此时P1(0,﹣3).②当N′=N′B′时,设P(m,m﹣3),列出方程解方程即可;
试题解析:(1)由题意抛物线的顶点坐标为(2,),设抛物线的解析式为,把(0,0)代入得到a=,∴抛物线的解析式为,即
(2)如图1中,设E(m,0),则C(m,),B(,0),
∵E′在抛物线上,∴E、B关于对称轴对称,∴=2,解得m=1或6(舍弃),∴B(3,0),C(1,﹣2),∴直线l′的解析式为y=x﹣3.
(3)如图2中,①当P1与N重合时,△P1B′N′是等腰三角形,此时P1(0,﹣3).
②当N′=N′B′时,设P(m,m﹣3),则有,解得m=,∴P2(),P3().
综上所述,满足条件的点P坐标为(0,﹣3)或()或().

(本小题满分12分)
已知:把Rt△ABC和Rt△DEF按如图(1)摆放(点C与点E重合),点B、C(E)、F在同一条直线上.∠ACB = ∠EDF = 90°,∠DEF = 45°,AC = 8 cm,BC = 6 cm,EF = 9 cm.
如图(2),△DEF从图(1)的位置出发,以1 cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动,在△DEF移动的同时,点P从△ABC的顶点B出发,以2 cm/s的速度沿BA向点A匀速移动.当△DEF的顶点D移动到AC边上时,△DEF停止移动,点P也随之停止移动.DE与AC相交于点Q,连接PQ,设移动时间为t(s)(0<t<4.5).

解答下列问题:
(1)当t为何值时,点A在线段PQ的垂直平分线上?
(2)连接PE,设四边形APEC的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;是否存在某一时刻t,使面积y最小?若存在,求出y的最小值;若不存在,说明理由.
(3)是否存在某一时刻t,使P、Q、F三点在同一条直线上?若存在,求出此时t的值;若不存在,说明理由.

【答案】
(1)t=2
(2)当t = 3时,y最小=
(3)当t = 1s,点P、Q、F三点在同一条直线上
【解析】
解:(1)∵点A在线段PQ的垂直平分线上,
∴AP = AQ.
∵∠DEF = 45°,∠ACB = 90°,∠DEF+∠ACB+∠EQC = 180°,
∴∠EQC = 45°.
∴∠DEF =∠EQC.
∴CE = CQ.
由题意知:CE = t,BP =2 t,
∴CQ = t.
∴AQ = 8-t.
在Rt△ABC中,由勾股定理得:AB = 10 cm .
则AP = 10-2 t.
∴10-2 t = 8-t.
解得:t = 2.
答:当t = 2 s时,点A在线段PQ的垂直平分线上. 4分
(2)过P作,交BE于M,∴.

在Rt△ABC和Rt△BPM中,
. ∴PM = .
∵BC = 6 cm,CE = t, ∴ BE = 6-t.
∴y = S△ABC-S△BPE ==
= = .
,∴抛物线开口向上.
∴当t = 3时,y最小=.
答:当t = 3s时,四边形APEC的面积最小,最小面积为cm2. 8分
(3)假设存在某一时刻t,使点P、Q、F三点在同一条直线上.

过P作,交AC于N,
.
,∴△PAN ∽△BAC.
.
.
.
∵NQ = AQ-AN,
∴NQ = 8-t-() =
∵∠ACB = 90°,B、C(E)、F在同一条直线上,
∴∠QCF = 90°,∠QCF = ∠PNQ.
∵∠FQC = ∠PQN,
∴△QCF∽△QNP .
. ∴ .

解得:t = 1.
答:当t = 1s,点P、Q、F三点在同一条直线上. 12分

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