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2018年九年级数学上半年单元测试相关

人教版九年级第一学期人教版上册第24章圆单元检测数学在线测验完整版

下随有关圆的一些结论:①任意三点确定一个圆;②相等的圆心角所对的弧相等;③平分弦的直径垂宜于弦;并且平分弦所对的弧,④圆内接四边形对角互补.其中错误的结论有(  )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

【答案】C
【解析】
根据确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形的性质一一判断即可;
①任意三点确定一个圆;错误,应该的不在同一直线上的三点可以确定一个圆;
②相等的圆心角所对的弧相等;错误,应该是在同圆或等圆中;
③平分弦的直径垂宜于弦;并且平分弦所对的弧,错误,此弦不是直径;
④圆内接四边形对角互补;正确;
故选:C.

如图,在⊙O中,弧AB=弧AC,∠A=36°,则∠C的度数为(  )

A. 44° B. 54° C. 62° D. 72°

【答案】D
【解析】
根据同圆或等圆中等弧所对圆周角相等和利用三角形内角和定理,得出∠B=∠C=72°即可.
∵⊙O中,,∠A=36°,
∴∠B=∠C=72°,
故选:D.

如图,AB、CD分别与半圆OO切于点A,D,BC切⊙O于点E.若AB=4,CD=9,则⊙O的半径为(  )

A. 12 B. C. 6 D. 5

【答案】C
【解析】
过B作CD的垂线,设垂足为F;由切线长定理知:BA=BE,CE=CD;即BC=AB+CD;在构建的Rt△BFC中,BC=AB+CD,CF=CD-AB,根据勾股定理即可求出BF即圆的直径,进而可求出⊙O的半径
过B作BF⊥CD于F,

∵AB、CD与半圆O切于A、D,
∴∠BAD=∠CDA=∠BFD=90°,
∴四边形ADFB为矩形,
∴AB=DF,BF=AD,
∵AB=BE=4,CD=CE=9;
∴BC=BE+CE=13;
∵AB、CD与半圆O相切,
∴四边形ADFB为矩形;
∴CF=CD-FD=9-4=5,
在Rt△BFC中,BF===12,
∴AD=BF=12,
∴⊙O的半径为6.
故选:C.

如图,△ABC是⊙O的内接三角形,AB为⊙O的直径,点D为⊙O上一点,若∠ACD=40°,则∠BAD的大小为(  )

A. 35° B. 50° C. 40° D. 60°

【答案】B
【解析】
连接BD,由AB为圆的直径,利用直径所对的角为直角得到三角形ABD为直角三角形,再利用圆周角定理得到∠ACD=∠ABD=40°,利用直角三角形两锐角互余,即可求出∠BAD的大小.
连接BD,

∵AB为圆O的直径,
∴∠ADB=90°,
∵∠ACD=∠ABD=40°,
∴∠BAD=90°-40°=50°.
故选:B.

如图,AB是⊙O的直径,半径OC⊥AB,过OC的中点D作弦EF∥AB,则∠ABE的度数是(  )

A. 30° B. 15° C. 45° D. 60°

【答案】B
【解析】
连接OE,设CD=DO=x,则r=2x,在Rt△EDO中,=2,得出∠DEO=30°,再由EF∥AB及等腰三角形得出∠FEB=∠BEO,即可得出∠EBA的度数.
如图连接OE,

设CD=DO=x,则r=2x,
∵在Rt△EDO中,=2,
∴∠DEO=30°,
∵EF∥AB,
∴∠FEB=∠EBA,
∵EO=BO,
∴∠BEO=∠EBA,
∴∠FEB=∠BEO
∴∠EBA=15°.
故选:B.

如图,⊙O的半径为1,动点P从点A处沿圆周以每秒45°圆心角的速度逆时针匀速运动,即第1秒点P位于如图所示的位置,第2秒中P点位于点C的位置,……,则第2018秒点P所在位置的坐标为(  )

A. () B. (0,1) C. (0,﹣1) D. (,﹣

【答案】B
【解析】
作PE⊥OA于E,根据等腰直角三角形的性质得到点P的坐标为(),根据题意分别求出第3秒、第4秒、第5秒、第6秒、第7秒、第8秒点P的坐标,根据规律解答.
作PE⊥OA于E,

∵OP=1,∠POE=45°,
∴OE=PE=,即点P的坐标为(),
则第2秒P点为(0,1),
根据题意可知,第3秒P点为(-),第4秒P点为(-1,0),第5秒P点为(-,-),第6秒P点为(0,-1),
第7秒P点为(,-),第8秒P点为(1,0),
2018÷8=252……2,
∴第2018秒点P所在位置的坐标为(0,1),
故选:B.

如图,正方形ABCD的边长为4,以BC为直径的半圆O交对角线线BD于点E,则阴影部分的面积(  )

A. 8﹣π B. 4﹣π C. 4π D. 8π

【答案】A
【解析】
根据阴影部分面积=S△BDC-S扇形EOC,利用面积公式计算即可
∵BC=4,ABCD是正方形,E在半圆上,
∴OB=OE=OC=2,∠DBO=45°,
∴∠BEO=∠EBO=45°,
∴∠EOC=90°,
∴阴影部分面积=S△BDC-S扇形EOC= -=8-
故选A.

如图,AB是⊙O的弦,AB=10,点C是⊙O上的一个动点,且∠ACB=45°,若点M、N分别是BC、AB的中点,则MN长的最大值是(  )

A. 10 B. 5 C. 10 D. 20

【答案】D
【解析】
连接OA、OB,如图,根据圆周角定理得到∠AOB=2∠ACB=90°,则OA=AB=20,再根据三角形中位线性质得到MN=AC,然后利用AC为直径时,AC的值最大可确定MN的最大值.
连接OA、OB,

∴∠AOB=2∠ACB=2×45°=90°,
∴△OAB为等腰直角三角形,
∴OA=AB=×20=20,
∵点M、N分别是AB、BC的中点,
∴MN=AC,
当AC为直径时,AC的值最大,
∴MN的最大值为20.
故选:D.

如图,C、D是以AB为直径、O为圆心的半圆上的两点,与AC交于点E,下列结论中不一定成立的是

A. B.
C. 是等边三角形 D.

【答案】C
【解析】分析:根据圆周角定理可得,再根据平行可得,根据垂径定理可得,然后再证明,可得
详解:连接CD,

∵AB为直径,
∴∠ACB=
∵OD∥BC,
∴∠AEO=∠ACB=
∴DO⊥AC,
∴AD=CD,故A. B正确;
∵AO=DO,不一定等于AD,因此C错误;
∵O为圆心,
∴AO:AB=1:2,
∵EO∥BC,
∴△AEO∽△ACB,
∴EO:AB=AO:BC=1:2,
∴BC=2EO,故D正确;
故选:C.

如图,以为圆心的圆与直线交于两点,若恰为等边三角形,则弧的长
度为( ).

A. B. C. D.

【答案】C
【解析】过点



为等腰直角三角形,

为等边三角形,


.故选C.

如图, 是⊙的直径, 是圆上两点,连接.若,则的度数为( )

A. B. C. D.

【答案】C
【解析】试题解析:∵AB是的直径,




故选C.

如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,O为矩形ABCD的中心,以D为圆心1为半径作⊙D,P为⊙D上的一个动点,连接AP、OP,则△AOP面积的最大值为(  )

A. 4 B. C. D.

【答案】D
【解析】解:当P点移动到平行于OA且与⊙D相切时,△AOP面积的最大,如图,∵P是⊙D的切线,∴DP垂直与切线,延长PD交AC于M,则DM⊥AC,∵在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,∴AC= =5,∴OA= ,∵∠AMD=∠ADC=90°,∠DAM=∠CAD,∴△ADM∽△ACD,∴,∵AD=4,CD=3,AC=5,∴DM= ,∴PM=PD+DM=1+ = ,∴△AOP的最大面积= OA•PM= = ,故选D.

如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,若AB=8,AE=1,则弦CD的长是_____.

【答案】2
【解析】试题解析:连接OC,
由题意,得



故答案为:

如图,在⊙O中,CD是直径,弦AB⊥CD,垂足为E,若∠C=22.5°,AB=6cm,则阴影部分面积为_____.

【答案】
【解析】试题解析:连接OA,OB,






阴影= 扇形− △AOB
故答案为:

如图,AB是⊙O的直径,C、D是⊙O上的两点,若∠ABD=62°,则∠BCD=_____.

【答案】28°
【解析】∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∵∠ABD=62°,
∴∠ACD=∠ABD=62°,
∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=28°.
故答案为28°.

如图,Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4,P是△ABC内部的一个动点,且满足∠PAB=∠PBC,则线段CP长的最小值为_____.

【答案】2
【解析】

如图所示,以为直径作圆,圆心为,∵AB=6,所以半径为3。因为,所以.又因为,所以,所以,所以点在以为直径的上。连接可知,当三点共线时,最短,又因为 恒为3,所以此时最短,在中,,所以CP=5-3=2,∴CP长的最小值为2。

如图,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,OA=3,OB=2,将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE,将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED,分别以O,E为圆心,OA、ED长为半径画弧AF和弧DF,连接AD,则图中阴影部分面积是_____.

【答案】8﹣π
【解析】分析:
如下图,过点D作DH⊥AE于点H,由此可得∠DHE=∠AOB=90°,由旋转的性质易得DE=EF=AB,OE=BO=2,OF=AO=3,∠DEF=∠FEO+∠DEH=90°,∠ABO=∠FEO,结合∠ABO+∠BAO=90°可得∠BAO=∠DEH,从而可证得△DEH≌△BAO,即可得到DH=BO=2,再由勾股定理求得AB的长,即可由S阴影=S扇形AOF+S△OEF+S△ADE-S扇形DEF即可求得阴影部分的面积.
详解:
如下图,过点D作DH⊥AE于点H,
∴∠DHE=∠AOB=90°,
∵OA=3,OB=2,
∴AB=
由旋转的性质结合已知条件易得:DE=EF=AB= ,OE=BO=2,OF=AO=3,∠DEF=∠FEO+∠DEH=90°,∠ABO=∠FEO,
又∵∠ABO+∠BAO=90°,
∴∠BAO=∠DEH,
∴△DEH≌△BAO,
∴DH=BO=2,
∴S阴影=S扇形AOF+S△OEF+S△ADE-S扇形DEF
=
=.
故答案为:.

如图,已知⊙O是△ABD的外接圆,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,∠ABD=58°,则∠BCD的度数是_____.

【答案】32°
【解析】解:∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∵∠ABD=58°,∴∠A=32°,∴∠BCD=32°,故答案为:32°.

如图矩形ABCD中,AD=1,CD=,连接AC,将线段AC、AB分别绕点A顺时针旋转90°至AE、AF,线段AE与弧BF交于点G,连接CG,则图中阴影部分面积为_____.

【答案】.
【解析】
试题在矩形ABCD中,
∵AD=1,CD=
∵AC=2,tan∠CAB==
∴∠CAB=30°,
∵线段AC、AB分别绕点A顺时针旋转90°至AE、AF,
∴∠CAE=∠BAF=90°,
∴∠BAG=60°,
∵AG=AB=
∴阴影部分面积=S△ABC+S扇形ABG﹣S△ACG=××1+××2=.

如图,已知△ABC内接于,AB是直径,OD∥AC,AD=OC.
(1)求证:四边形OCAD是平行四边形;
(2)填空:①当∠B= 时,四边形OCAD是菱形;
②当∠B= 时,AD与相切.

【答案】(1)证明见解析;(2)① 30°,② 45°
【解析】试题分析:(1)根据已知条件求得∠OAC=∠OCA,∠AOD=∠ADO,然后根据三角形内角和定理得出∠AOC=∠OAD,从而证得OC∥AD,即可证得结论;
(2)①若四边形OCAD是菱形,则OC=AC,从而证得OC=OA=AC,得出∠即可求得
②AD与相切,根据切线的性质得出根据AD∥OC,内错角相等得出从而求得
试题解析:(方法不唯一)
(1)∵OA=OC,AD=OC,
∴OA=AD,
∴∠OAC=∠OCA,∠AOD=∠ADO,
∵OD∥AC,
∴∠OAC=∠AOD,
∴∠OAC=∠OCA=∠AOD=∠ADO,
∴∠AOC=∠OAD,
∴OC∥AD,
∴四边形OCAD是平行四边形;
(2)①∵四边形OCAD是菱形,
∴OC=AC,
又∵OC=OA,
∴OC=OA=AC,


故答案为:
②∵AD与相切,

∵AD∥OC,


故答案为:

(8分)如图,AC是⊙O的直径,OB是⊙O的半径,PA切⊙O于点A,PB与AC的延长线交于点M,∠COB=∠APB.

(1)求证:PB是⊙O的切线;
(2)当OB=3,PA=6时,求MB,MC的长.

【答案】(1)证明见试题解析;(2)MB=4,MC=2.
【解析】
试题(1)由切线的性质,得到∠MAP=90°,由直角三角形的性质,得到∠P+M=90°,由余角的性质,得到∠M+∠MOB=90°,可得∠MOB=90°,根据切线的判定,可得答案;
(2)根据△OBM∽△APM,可得,根据解方程组,可得答案.
试题解析:(1)∵PA切⊙O于点A,∴∠MAP=90°,∴∠P+M=90°.∵∠COB=∠APB,∴∠M+∠MOB=90°,∴∠MOB=90°,即OB⊥PB,∵PB经过直径的外端点,∴PB是⊙O的切线;
(2)∵∠COB=∠APB,∠OBM=∠PAM,∴△OBM∽△APM,∴,∴ ①, ②,解得MB=4,MC=2,∴当OB=3,PA=6时,MB=4,MC=2.

如图所示,AB是⊙O的一条弦,OD⊥AB,垂足为C,交⊙O于点D,点E在⊙O上.
(1)若∠AOD=52°,求∠DEB的度数;
(2)若OC=3,OA=5,求AB的长.

【答案】(1)26°;(2)8.
【解析】试题分析:(1)根据垂径定理,得到,再根据圆周角与圆心角的关系,得知∠E=∠O,据此即可求出∠DEB的度数;
(2)由垂径定理可知,AB=2AC,在Rt△AOC中,OC=3,OA=5,由勾股定理求AC即可得到AB的长.
试题解析:(1)∵AB是⊙O的一条弦,OD⊥AB,

∴∠DEB=∠AOD=×52°=26°;
(2)∵AB是⊙O的一条弦,OD⊥AB,
∴AC=BC,即AB=2AC,
在Rt△AOC中,AC===4,
则AB=2AC=8.

(12分)如图,已知三角形ABC的边AB是⊙O的切线,切点为B.AC经过圆心O并与圆相交于点D、C,过C作直线CE丄AB,交AB的延长线于点E.

(1)求证:CB平分∠ACE;
(2)若BE=3,CE=4,求⊙O的半径.

【答案】
【解析】试题分析:(1)证明:如图1,连接OB,由AB是⊙0的切线,得到OB⊥AB,由于CE丄AB,的OB∥CE,于是得到∠1=∠3,根据等腰三角形的性质得到∠1=∠2,通过等量代换得到结果.
(2)如图2,连接BD通过△DBC∽△CBE,得到比例式,列方程可得结果.
(1)证明:如图1,连接OB,

∵AB是⊙0的切线,
∴OB⊥AB,
∵CE丄AB,
∴OB∥CE,
∴∠1=∠3,
∵OB=OC,
∴∠1=∠2,
∴∠2=∠3,
∴CB平分∠ACE;
(2)如图2,连接BD,

∵CE丄AB,
∴∠E=90°,
∴BC===5,
∵CD是⊙O的直径,
∴∠DBC=90°,
∴∠E=∠DBC,
∴△DBC∽△CBE,

∴BC2=CD•CE,
∴CD==
∴OC==
∴⊙O的半径=

如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠ABC=45°,AD是⊙O的切线交BC的延长线于D,AB交OC于E.

(1)求证:AD∥OC;
(2)若AE=2,CE=2.求⊙O的半径和线段BE的长.

【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】
试题分析:(1)连结OA,根据切线的性质得到OA⊥AD,再根据圆周角定理得到∠AOC=2∠ABC=90°,然后根据平行线的判定即可得到结论;
(2)设⊙O的半径为R,则OA=R,OE=R-2,AE=2,在Rt△OAE中根据勾股定理可计算出R=4;作OH⊥AB于H,根据垂径定理得AH=BH,再利用面积法计算出OH=,然后根据勾股定理计算出AH=,则HE=AE-AH=2-=,再利用BE=BH-HE进行计算.
试题解析:(1)连结OA,如图,

∵AD是⊙O的切线,
∴OA⊥AD,
∵∠AOC=2∠ABC=2×45°=90°,
∴OA⊥OC,
∴AD∥OC;
(2)设⊙O的半径为R,则OA=R,OE=R-2,AE=2
在Rt△OAE中,∵AO2+OE2=AE2,
∴R2+(R-2)2=(2)2,解得R=4,
作OH⊥AB于H,如图,OE=OC-CE=4-2=2,
则AH=BH,
OH•AE=•OE•OA,
∴OH==
在Rt△AOH中,AH=
∴HE=AE-AH=2-=
∴BH=
∴BE=BH-HE=-=

如图,AB是圆O的直径,O为圆心,AD、BD是半圆的弦,且∠PDA=∠PBD.延长PD交圆的切线BE于点E
(1)判断直线PD是否为⊙O的切线,并说明理由;
(2)如果∠BED=60°,PD=,求PA的长.
(3)将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF,点F正好在圆O上,如图2,求证:四边形DFBE为菱形.

【答案】(1)直线PD为⊙O的切线,证明详见解析;(2)PA=1;(3)详见解析.
【解析】
(1)连接OD,由AB是圆O的直径可得∠ADB=90°,进而求得∠ADO+∠PDA=90°,即可得出直线PD为⊙O的切线;
(2)根据BE是⊙O的切线,则∠EBA=90°,即可求得∠P=30°,再由PD为⊙O的切线,得∠PDO=90°,根据三角函数的定义求得OD,由勾股定理得OP,即可得出PA;
(3)根据题意可证得∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF,由AB是圆O的直径,得∠ADB=90°,设∠PBD=x°,则可表示出∠DAF=∠PAD=90°+x°,∠DBF=2x°,由圆内接四边形的性质得出x的值,可得出△BDE是等边三角形.进而证出四边形DFBE为菱形.
(1)直线PD为⊙O的切线,
理由如下:
如图1,连接OD,

∵AB是圆O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠ADO+∠BDO=90°,
又∵DO=BO,
∴∠BDO=∠PBD,
∵∠PDA=∠PBD,
∴∠BDO=∠PDA,
∴∠ADO+∠PDA=90°,即PD⊥OD,
∵点D在⊙O上,
∴直线PD为⊙O的切线;
(2)∵BE是⊙O的切线,
∴∠EBA=90°,
∵∠BED=60°,
∴∠P=30°,
∵PD为⊙O的切线,
∴∠PDO=90°,
在Rt△PDO中,∠P=30°,PD=
,解得OD=1,
=2,
∴PA=PO﹣AO=2﹣1=1;
(3)如图2,
依题意得:∠ADF=∠PDA,∠PAD=∠DAF,
∵∠PDA=∠PBD∠ADF=∠ABF,
∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF,
∵AB是圆O的直径,
∴∠ADB=90°,
设∠PBD=x°,则∠DAF=∠PAD=90°+x°,∠DBF=2x°,
∵四边形AFBD内接于⊙O,
∴∠DAF+∠DBF=180°,
即90°+x+2x=180°,解得x=30°,
∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF=30°,
∵BE、ED是⊙O的切线,
∴DE=BE,∠EBA=90°,
∴∠DBE=60°,∴△BDE是等边三角形,
∴BD=DE=BE,
又∵∠FDB=∠ADB﹣∠ADF=90°﹣30°=60°∠DBF=2x°=60°,
∴△BDF是等边三角形,
∴BD=DF=BF,
∴DE=BE=DF=BF,
∴四边形DFBE为菱形.

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