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2020年高二数学下学期期中考试相关

高二下学期期中数学(文)免费试卷完整版(2019-2020年安徽省六安中学)

设p:x<3,q:-1<x<3,则p是q成立的( )
A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】C
【解析】,但,∴成立的必要不充分条件,故选C.

下列命题中是真命题的是( )
A.
B.
C.若,则”的逆命题
D.若,则”的逆否命题

【答案】B
【解析】
直接利用排除法和命题的真假的判断求出结果.
对于选项A,
对于,为假命题.
故错误,
对于选项C:
时,逆命题不成立.
对于选项D:若“,则”为假命题,故逆否命题为假命题.
故选:B.

在研究吸烟与患肺癌的关系中,通过收集数据,整理、分析数据得出“吸烟与患肺癌有关”的结论,并有99%的把握认为这个结论是成立的,下列说法中正确的是( )
A. 吸烟人患肺癌的概率为99%
B. 认为“吸烟与患肺癌有关”犯错误的概率不超过1%
C. 吸烟的人一定会患肺癌
D. 100个吸烟的人大约有99个人患有肺癌

【答案】B
【解析】∵“吸烟与患肺癌有关”的结论,并且在犯错误的概率不超过的前提下认为这个结论是成立的,表示有99%的把握认为这个结论成立,与多少个人患肺癌没有关系,只有B选项正确,故选B.

已知函数,其导函数的图象如图所示,则( )

A.在上为减函数 B.在处取极小值
C.在上为减函数 D.在处取极大值

【答案】C
【解析】
由导函数图象与原函数图象关系可解.
由导函数图象知,上单增,在上单减,在在处取极大值,在处取极小值.
故选:C.

用反证法证明命题:“若a+b+c为偶数,则自然数a,b,c恰有一个偶数”时正确的反设为( )
A.自然数a,b,c都是奇数 B.自然数a,b,c都是偶数
C.自然数a,b,c中至少有两个偶数 D.自然数a,b,c中都是奇数或至少有两个偶数

【答案】D
【解析】
找出题中的题设,然后根据反证法的定义对其进行否定.
“自然数a,b,c中恰有一个偶数”的否定是“自然数a,b,c都是奇数或至少有两个偶数”.
故选:D.

函数y=x2㏑x的单调递减区间为
A.(1,1] B.(0,1] C.[1,+∞) D.(0,+∞)

【答案】B
【解析】
对函数求导,得(x>0),令解得,因此函数的单调减区间为,故选B
考点定位:本小题考查导数问题,意在考查考生利用导数求函数单调区间,注意函数本身隐含的定义域

已知命题;命题,则下列说法中正确的是
A. 是假命题 B. 是真命题
C. 是真命题 D. 是假命题

【答案】C
【解析】
先判断命题的真假,进而求得复合命题真假判断真值表得到答案.
命题p,,即命题p为真,
对命题q,去 ,所以命题q为假,为真
所以是真命题
故选:C.

曲线在点(1,)处的切线的倾斜角为( )
A. B. C. D.

【答案】D
【解析】
首先对函数求导,求出的值,根据导数的几何意义以及倾斜角与斜率的关系即可求解.
,则
所以,所以切线的斜率为
,所以
故选:D

若函数在区间单调递增,则的取值范围是 ( )
A. B. C. D.

【答案】D
【解析】试题分析:,∵函数在区间单调递增,∴在区间上恒成立.∴,而在区间上单调递减,∴.∴的取值范围是.故选:D.

要做一个圆锥形漏斗,其母线长为,要使其体积最大,则其高为( )
A. B. C. D.

【答案】A
【解析】
设圆锥高为,利用表示出底面半径,从而可构造出关于圆锥体积的函数关系式;利用导数求得当时,体积最大,从而得到结果.
设圆锥的高为,则圆锥底面半径:
圆锥体积:
,令,解得:
时,;当时,
取最大值
即体积最大时,圆锥的高为:
本题正确选项:

已知函数的图象在处的切线互相垂直,且,则( )
A. B. C. D.

【答案】A
【解析】
求得,由结合条件可求得的值.

由题意可得,化简得
.
故选:A,

若函数有3个不同的零点,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.

【答案】C
【解析】
由函数求导,求出函数的单调区间及极值,得到函数图象的变化趋势,根据函数有三个零点,寻求函数满足的条件,即可求出.

时,
时,
时,
所以当时,有极大值,当时,有极小值.
要使有3个不同的零点,
只需,解得.
故选A.

命题“”的否定是“ ”.

【答案】
【解析】
因为全称命题的否定是特称命题,
所以命题“”的否定是

给出下列等式:

由以上等式可推出一个一般结论:
对于__________________.

【答案】
【解析】
由已知中的三个式子,我们分析等式左边每一个累加项的变化趋势,可以归纳出其通项为,分析等式右边的式子,发现每一个式了均为两项差的形式,且被减数均为1,减数为,由此即可得到结论.
由已知中的等式:

由以上等式我们可以推出一个一般结论:
对于
故答案为:

设直线与函数的图象分别交于点,则当达到最小值时,的值为________.

【答案】1
【解析】
先构造函数:设,再利用导数求函数的单调性及极值:由,即函数为减函数,在为增函数,即,得解.
解:设

时,,当时,
即函数为减函数,在为增函数,

即当达到最小值时,的值为1,
故答案为:.

已知定义在上的函数满足,其中是函数的导函数.若,则实数的取值范围为______.

【答案】
【解析】
,求得函数的导数,根据函数的单调性,把题设中的不等式转化为,即可求解.
,则
因为,所以,所以函数为单调递减函数,
又由
所以,即,所以
,所以,解得
综上可得,实数的取值范围为.
故答案为:.

已知,证明:.

【答案】证明见解析
【解析】
利用分析法的步骤简单计算可得,可得结果.
因为
要证
只要证
只要证
即证
恒成立,
成立.

设命题:实数满足,其中;命题:实数满足.
(1)若,且为真,求实数的取值范围;
(2)若的充分不必要条件,求实数的取值范围.

【答案】(1);(2).
【解析】
(1)若为真,则命题和命题均为真命题,分别解两个不等式求交集即可;
(2)的充分不必要条件等价于的必要不充分条件,列出满足题意的不等式求解即可.
(1)对于:由,得:
,所以
时,
对于等价于,解得:
为真,则真且真,所以实数的取值范围是:
(2)因为的充分不必要条件,所以,且,即
,则,即,且
所以实数的取值范围是.

某科研小组为了研究一种治疗新冠肺炎患者的新药的效果,选50名患者服药一段时间后,记录了这些患者的生理指标x和y的数据,并统计得到如下的2×2列联表(不完整):

合计

12

36

7

合计



其中在生理指标的人中,设A组为生理指标的人,B组为生理指标的人,他们服用这种药物后的康复时间(单位:天)记录如下:
A组:10,11,12,13,14,15,16
B组:12,13,15,16,17,14,25
(1)根据以上数据,将列联表填写完整;
(2)判断是否有95%的把握认为患者的两项生理指标x和y有关系;
(3)从A,B两组随机各选1人,A组选出的人记为甲,B组选出的人记为乙,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率.
附:,其中.

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828



【答案】(1)列联表见解析;(2)没有把握;(3).
【解析】
(1)根据题意直接可得结果.
(2)按照公式计算,然后简单判断可得结果.
(3)依据题意可得所有可能结果,然后计算符合要求的可能结果数,最后利用古典概型的计算方法可得结果.
(1)填表如下:

合计

12

24

36

7

7

14

合计

19

31

50

(2)由表可知,.
故没有95%的把握认为患者的两项生理指标有关系;
(3)设集合.
设甲的康复时间为,乙的康复时间为
则选取病人的康复时间的基本事件空间为
个基本事件,其中符合题意的基本事件为

,共10个.
从而.

设函数的图象与直线相切于点.
(1)求函数的解析式;
(2)求函数在区间上的最值;

【答案】(1);(2)最大值为,最小值为
【解析】
(1)求导得到,根据,解方程得到答案.
(2),得到函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,计算极值和端点值,比较大小得到答案.
(1)
根据题意,解得.
.
(2),取,解得.
故函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.
.
故函数的最大值为,最小值为.

已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)当时,上的最小值为,求的值.

【答案】(1)当时,上是增函数;当时,上是减函数,在上是增函数(2)
【解析】
(1)求导后,对分类讨论,利用导数的符号可得函数的单调性;
(2)由(1)知,当时,上单调递减,从而可得最小值,进一步可得结果.
(1)由题意得的定义域为
①当时,,故上为增函数;
②当时,由
;由
上为减函数,在上为增函数.
综上,当时,上是增函数;
时,上是减函数,在上是增函数.
(2)由(1)知,当时,上单调递减,
(e),解得
.

已知函数
(1)当时,求证:
(2)讨论函数在R上的零点个数,并求出相对应的a的取值范围.

【答案】(1)证明见解析;(2)时,函数上没有零点;当时,函数上有一个零点;当时,函数上有两个零点.
【解析】
(1)构造函数,利用导数研究函数的单调性和最小值,证明最小值大于.(2)先利用导数得到的最小值,然后分类讨论,根据零点存在定理,得到每种情况下的零点情况.
(1)当时,
,则.
,得.
时,单调递减;当时,单调递增.
所以的极小值点,也是最小值点,

故当时,成立.
(2) ,由,得.
所以当时,单调递减;当时,单调递增.
所以是函数的极小值点,也是最小值点,
.
,即时,上没有零点.
,即时,上只有一个零点.
,即时,因为
所以内只有一个零点;
由(1)得,令,得
所以,于是内有一个零点;
因此,当时,上有两个零点.
综上,时,函数上没有零点;
时,函数上有一个零点;
时,函数上有两个零点.

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