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2020年高三数学上册月考测验相关

河北省邯郸市2021届高三上册摸底数学题免费在线检测

已知集合,则( )
A. B. C. D.

【答案】A
【解析】
由A集合描述可得,进而求即可;
由A的描述,知:,而
.
故选:A

已知复数,则( )
A. B. C. D.

【答案】A
【解析】
利用即可得,进而求并得到


,即.
故选:A

已知向量,若,则实数( )
A.2 B. C.2 D.4

【答案】C
【解析】
先求出的坐标,再由,从而可求出的值
解:因为向量
所以向量
因为,所以,解得.
故选:C

已知函数,则( )
A. B. C. D.

【答案】B
【解析】
可得出,代入计算即可得解.
,即
,所以.
故选:B.

若命题”为真命题,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.

【答案】B
【解析】
对二次项系数进行讨论,分为两种情形,结合判别式可得结果.
由题意,当时,命题成立;
时,,解得
综上可得,实数的取值范围是.
故选:B.

已知均为正数,且成等差数列,则的最小值为( )
A.4 B.3 C. D.

【答案】D
【解析】
由等差数列得,“1”的巧用,基本不等式即得.
解析:由题,∴(当且仅当时等号成立).
故选:D

如图是函数的部分图象,则( )

A. B. C. D.

【答案】B
【解析】
根据三角函数的图像求出解析式,将代入解析式即可求解.
解析:由图可知.最小正周期,∴
又由,得

.
故选:B

函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.

【答案】C
【解析】
由函数为奇函数可排除A,B,取特殊值可排除D,即可得出答案.
的定义域关于原点对称,且
函数为奇函数,图象关于原点对称,故排除A,B,
又因为,排除D.
故选:C.

2019年4月,八省市同时公布新高考改革“3+1+2”模式.“3”即语文、数学、外语为必考科目.“1”即首选科目,考生须在物理、历史中二选一.“2”即再选科目,考生在化学、生物、思想政治、地理中四选二.高校各专业根据本校培养实际,对考生的物理或历史科目提出要求.如图所示,“仅物理”表示首选科目为物理的考生才可报考,且相关专业只在物理类别下安排招生计划;“仅历史”表示首选科目为历史的考生才可报考,且相关专业只在历史类别下安排招生计划;“物理或历史”表示首选科目为物理或历史的考生均可报考,且高校要统筹相关专业在物理历史类别下安排招生计划根据图中数据分析,下列说法正确的是( )

A.选物理的考生可报大学专业占47.53%
B.选历史的考生大学录取率为2.83%
C.选物理或历史的考生均可报的大学专业占49.64%
D.选历史的考生可报大学专业占52.47%

【答案】CD
【解析】
由图可知黑色部分占49.64%表示既可选物理也可选历史,这样可选物理和可选历史的都是两部分.
根据题中信息易知选物理或历史的考生均可报的大学专业占49.64%,
选历史的考生可报大学专业占49.64%+2.83%=52.47%.
故选:CD

已知数列满足:,当时,,则关于数列说法正确的是( )
A. B.数列为递增数列
C.数列为周期数列 D.

【答案】ABD
【解析】
由已知递推式可得数列是首项为,公差为1的等差数列,结合选项可得结果.


即数列是首项为,公差为1的等差数列,

,得,由二次函数的性质得数列为递增数列,
所以易知ABD正确,
故选:ABD.

如图已知分别是椭圆的左、右焦点,点是该椭圆在第一象限内的点,的角平分线交轴于点,且满足,则椭圆的离心率可能是( )

A. B. C. D.

【答案】CD
【解析】
根据题意先得出,由内角平分线定理和椭圆的定义可得,由余弦定理即可得出离心率的范围,结合选项可得结果.
,∴,则.
的角平分线,∴


中,由余弦定理得
,∴
解得.
故选:CD.

已知定义在上的函数,定义函数(其中为实数),若对于任意的,都有,则整数可以为( )
A.4 B.5 C.6 D.7

【答案】AB
【解析】
根据题意,得到恒成立,只需,对求导,根据导数的方法研究其单调性,求出最值,即可得出结果.
由题若对于任意的,都有,则有恒成立,
只需
因为
所以
,则,∴上单调递增,
又由
满足,即有
此时上单调递减,在上单调递增,
所以
.
故选:AB.

已知随机变量,若,则_________.

【答案】0.6
【解析】
随机变量知随机变量的均值为4,有随机变量的分布图象关于4对称,根据已知,即可求
,若,则
.
故答案为:0.6

某市近几年大力改善城市环境,全面实现创建生态园林城市计划,现省专家组评审该市是否达到“省园林城市”的标准,从包含甲、乙两位专家在内的8人中选出4人组成评审委员会,若甲、乙两位专家至少一人被邀请,则组成该评审委员会的不同方式共有__________种.

【答案】55
【解析】
先计算不考虑甲乙计算全部的排法,再考虑不排甲乙的排法,利用间接法作差即可.
若不考虑甲乙的限定,8人中选出4人全部的排法有中,若8人中选出4人,不选甲乙的排法有种,故若甲、乙两位专家至少一人被邀请,则组成该评审委员会的不同方式共有种.

已知分别是双曲线的左、右焦点,设点是该双曲线与以为直径的圆在第一象限的交点,若,则双曲线的离心率为_________.

【答案】
【解析】
根据双曲线的定义可得,再根据,得到,从而求出,从而由勾股定理得关于的等式,求得离心率;
解:根据双曲线定义:,因为圆是以为直径,所以是直角三角形,又知,易得,∴,在中,由勾股定理得,解得.
故答案为:

已知三棱锥的三条侧棱两两垂直,且有,则该三棱锥体积最大时,其外接球的表面积为_________.

【答案】
【解析】
先将该三棱锥补成长方体,计算体积关系式,再求导得最大值,外接球的半径即是长方体对角线的一半,计算表面积即可.
将该三棱锥补成长方体,设,则

三棱锥的体积
,得.
所以上单调递增,在上单调递减.
时,取得极大值,也即最大值.
此时三棱锥外接球半径
故表面积.
故答案为:.

中,角所对应的边分别为,已知.
(1)求角的大小;
(2)给出三个条件①,②外接圆半径,③,试从中选择两个可以确定的条件,并求的面积.

【答案】(1);(2)选①③或②③,的面积为.
【解析】
(1)根据二倍角公式及正弦定理的边角互化,即可求角
(2)确定的条件为①③或②③,结合正余弦定理求,进而可求的面积;
(1)因为,所以
由正弦定理得

(2)显然可知当选择条件①②时,不唯一;
当选择条件①③时,唯一,此时,由余弦定理
,解得.
所以的面积.
当选择条件②③时,唯一,此时,由正弦定理可知.
由余弦定理,即.解得.
所以的面积.

已知数列满足.
(1)求证数列为等差数列,并求数列的通项公式;
(2)设为数列的前项和,证明:.

【答案】(1)证明见解析;;(2)证明见解析.
【解析】
(1)由递推关系整理得:得证,进一步得通项公式;
(2)裂项求和可证.
(1)由题,两边同时除以,得
,∴是首项为,公差为的等差数列,
,∴.
(2)由(1).
.
,∴,即.

某工厂为提高某手工制品的质量,决定引进新技术,现从改进技术前后生产的大批手工制品中各随机抽取件进行质量指标检测,规定指标值在的为合格品,其余的视为次品.改进技术前手工制品的频率分布直方图和改进技术后手工制品的顿率分布表如下:

改进技术后手工制品的频率分布表

质量指标值

频数

频率

合计

(1)(i)求表中数据
(ii)完成列联表,并判断能否有的把握认为该手工制品的合格数量与改进技术有关;

改进技术前

改进技术后

合计

合格品

次品

合计

(2)根据(1)的数据,从产品合格率的角度分析改进技术前后手工制品的质量优劣.
参考公式:,其中.
参考临界值表:

【答案】(1)(i);(ii)填表见解析,有的把握认为该手工制品的合格数量与改进技术有关;(2)工人在改进技术后手工制品的合格率更高,产品质量更高.
【解析】
(1)(i)利用频数、频率和样本容量三者之间的关系可求得的值;
(ii)根据频率分布表完善列联表,以此计算出的观测值,结合临界值表可得出结论;
(2)计算出改进技术前和技术后产品的合格率,由此可得出结论.
解:(1)(i)由表中数据
(ii)列联表为:

改进技术前

改进技术后

合计

合格品

次品

合计

列联表中数据代入公式计算,
故有的把握认为该手工制品的合格数量与改进技术有关;
(2)根据(1)中可知改进技术后的合格率为
改进技术前的合格率为
,所以工人在改进技术后手工制品的合格率更高,产品质量更高.

如图在三棱柱中,侧面为边长为2的菱形,.

(1)求证:平面
(2)求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)证明详见解析;(2).
【解析】
(1)连结于点,连结,通过菱形的性质得出,得出为等边三角形,根据三边关系得出,再由 可得答案.
(2)以O为原点建立空间直角坐标系,求平面的法向量与的夹角的余弦值可得答案.
(1)设于点,连接


因为四边形为菱形,
所以
所以为等边三角形,即可得.
中,
,即.
又知平面
所以平面.
(2)由(1)易知平面,所以两两垂直.
为坐标原点,分别以轴正方向建立空间直角坐标系,则

设平面的法向量为
,令,则.
又知.
设直线与平面所成角为

所以直线与平面所成角的正弦值.

已知函数.
(1)当时,讨论函数的单调性;
(2)当时,,求实数的取值范围.

【答案】(1)单调递减区间为,无单调递增区间;(2).
【解析】
(1)先求出函数的定义域,再求导得,从而可得在定义域内单调递减;
(2)对函数求导得,当时,,可知函数上单调递减,所以,满足题意,当时,可得存在,使得,从而有上单调递增,在上单调递减,进而得不合题意
解:(1)当时,,定义域为.
.
∴函数的单调递减区间为,无单调递增区间.
(2)
可得.
时,.
,所以函数上单调递减,所以.满足题意;
时,
所以存在,使得
且易知上单调递增,在上单调递减,
,不合题意,舍去.
综上所述,实数的取值范围为.

已知点为抛物线的焦点,横坐标为1的点在抛物线上,且以为圆心,为半径的圆与的准线相切.
(1)求抛物线的方程;
(2)设不经过原点的直线与抛物线交于两点,设直线的倾斜角分别为,证明:当时,直线恒过定点.

【答案】(1);(2)证明见解析.
【解析】
(1)由直线与圆相切及抛物线的性质可解得
(2)设直线,代入抛物线方程,韦达定理及已知条件可得的线性关系,进而找到直线所过的定点.
(1)由题焦点,准线
因为以为圆心,为半径的圆与的准线相切,
所以,解得
所以抛物线的方程为.
(2)由题设,易知直线的斜率存在,记为,则设直线,与联立得



.
又知

解得,所以直线,恒过定点.

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